2014年云南高考数学解题思想方法技巧：符号开门 来意弄懂

●计名释义?

数学老师讲“数学语言”,他在黑板上写了这样一句话，其中没有一个汉字：?

3x+2y+z=100?

问学生：“这句话的意思是什么?”?

学生甲说：这是一个故事，马驮粮食的故事：一匹大马驮3袋粮食，中马驮2袋，小马驮1袋，一共驮走了100袋粮食.?

学生乙说：这是一个方程，三元一次方程，3个未知数x,y,z.这是个不定方程.?

学生丙说：这是一个问题：第1个数乘3，第2个数乘2，第3个数乘1，其和为100.问这3个数各为多少??

老师很高兴：这种用来表示数学语言的“数学文字”，通常称作数学符号.这里的3，2，1，100，+，=等数学文字都是数学符号.其实，这三个学生对“这句话”的理解是有区别的：甲说的是情境，乙说的是形式，丙说的才是数学本意.单从句式上看，方程不是一个陈述句，也不是感叹句，而是疑问句.??

●典例示范?

【例1】 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0～9和字母A～F?共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:?

十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B= ( )?

?A.6E B.72 C.5F D.B0??

【分析】 本题破门首先是弄懂数学符号?A，B,C，D，E，F?的意思.依题意，他们是16位进制数中后6个数字.说它们是第10，11，12，…，15等数字时，则请注意，这是在借用10进制说话.这里11到15，在10进制中都是十位数，而A到F，在16位进制中都是个位数.?

对于E+D=1B，有人写成E+D=14+13=27=1B.?这就混淆了数学符号在两种进制中的意义.这里14，13，1B中的1的意思相同吗??

【解答】 我们用符号[x](10)?,[y](16)分别表示10进制和16进制中的数，依题意，就是[16](10)=[10](16) .?则有A×B=[10×11](10) =[110](10) =[6×16+14](10) =

[610+E](16)=6E.??

答案为?A?.?

【插语】 这里，解题人的特殊数学语言(10进制数和16进制数)用特别符号([x](10)?和[y](16)?)来与读者“约定”，使表达式形式准确而简明.?

【点评】 高考数学新题型中，往往有新的数学符号出现.由于有新符号,所以一定有对新符号的介绍.这时我们的任务是:把新的“符号语言”和我们已经掌握了的“普通语言”完成互译：(1)把“新符号”译成“普通话”;(2)把迁移后(解答后)的“普通话”译成“新符号”.??

【例2】 对于任意的两个实数对(a1，b1)和(a2，b2), 规定：(a1，b1)=(a2，b2)，当且仅当a1=a2，b1=b2，运算“ ”为：(a1，b1) (a2，b2)=(a1a2-b1b2，b1a2+a1b2);运算“ ”为：(a1，b1) (a2，b2)=(a1+a2，b1+b2). 设p,q∈R，若(1，2) (p,q)=(5,0)，则

(1,2) (p,q)= ( )?

?A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D?.(0,-4)?

【分析】 本题破门首先是弄清符号?所表示的运算意义：(1)运算对象是有序数对(a,b),运算结果也是有序数对(a,b);(2)运算法则则是(翻译)化为普通运算法则进行：

a3=a1a2-b1b2，b3=b1a2+a1b2，同样对符号 进行类似的分析.?于是我们得到如下的解法.?

【解答】 ?B? 由(1，2) ?(p,q)=(5，0)得 ，所以(1，2) (p,q)=(1,2) (1,-2)=(2,0)，故选?B?.?

【插语】 这里的运算 、 的一种具体形式是复数代数式加法运算和乘法运算. 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i? (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i?.?

由此可以看到，命题人在设计新题型时在如何“推陈出新”. 这里的运算法则 、 ?设计实际上是把一种具体的(复数)运算法推广到了(有序数对)“一般化”运算.??

●对应训练?

1.设?是R上的一个运算，A是R的非空子集.若对任意a、b∈A,有a b∈A，则称A对运算?封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭

的是 ( )?

?A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集??

2.定义集合运算：A⊙B ={z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A={0，1｝，B={2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为 ( )?

?A.0 B?.6 ?C?.12 ?D?.18?

3.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d. 例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为 ( )?

?A?.4,6,1,7 B?.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.?1,6,4,7??

●参考答案?

1.【分析】 这里“封闭”的定义，是说集合A中的任意两个数经过 运算的结果，仍然是集合A中的元素，则称A对运算 是封闭的.?

【解答】 ?A中1-2=-1不是自然数，即自然数集不满足条件;?B?中1÷ 2=0.5不是整数，即整数集不满足条件;?C?中有理数集满足条件;?D?中 × =2不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案?C?.?

【点评】 本题中的运算?有四个，即加法、减法、乘法和除法(除数不为0)，要想这四则运算都封闭，必须经四则运算后的结果，还是所给的数集中的一员.由于是单项选择题，这就需举出反例来说明它的不封闭性.?

2.【分析】 集合运算A⊙B实际上两个集合中元素的积乘以两个集合中元素的和. 所给集合A中有一个元素0，这使问题简化了，因为0乘以任何数其结果为0.?

【解答】 ?D 当x=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=6，当x=1，y=3时，z=12，故所有元素之和为18，选?D?.?

【点评】 所给集合就是两个元素，我们可以一一把它们的结果列举出来，因为有0的存在，使得我们的计算大大地省下了一笔.这也是命题人给考生的照顾吧!??

3.【解答】 ?C? 依题意，建立方程组