第2节 法拉第电磁感应定律、互感和自感

【考纲知识梳理】

一、感应电动势

1、电磁感应的这电路就于电源，在电源的内部电流的方向是从低电势流向高电势。(即：由负到正)

2、 感应电动势与感应电流的关系：遵守闭合电路欧姆定律

二、法拉第电磁感应定律

1、法拉第电磁感应定律

(1)定律内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过电路的磁通量的率成正比.

(2)公式： ，N为线圈匝数

2、 导体切割磁感线的情形

(1)情况：运动速度v与磁感应线方向夹角为 时则

(2)E=BLv (垂直平动切割) L是导线的切割长度 (v为磁场与导体的切割速度) (B不动而导体动;导体不动而B运动)

(3) . (直导体绕一端转动切割)

三、自感和涡流

1.自感：导体本身电流而产生的电磁感应.

2.自感电动势

(1)定义：自感中产生的感应电动势叫自感电动势.

(2)表达式： L为自感系数，

①.L跟线圈的形状、长短、匝数等因素系.线圈越粗，越长、长度上的匝数越密,横截面积越大,它的自感系数越大,有铁芯的线圈自感系数大大

②.自感系数的是亨利，国际符号是L，1亨=103毫亨=106 微亨

【要点名师透析】

一、 对法拉第电磁感应定律的理解

1.磁通量、磁通量的量、磁通量的率的区别

3.感应电荷量的求法

在电磁感应中有电流电路，那么也就有电荷量，由电流的定义I= 可知q=IΔt.注意I应为平均值，而 = ，要求感应电动势的平均值再求其电荷量，即：q= Δt= Δt=n .

由此可知，感应电荷量q由磁通量大小ΔΦ及电路的电阻R决定，与无关.

【例1】(13分)半径为a的圆形区域内有均匀磁场，磁感应强度为B=0.2 T，磁场方向垂直纸面向里，半径为b的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，a=0.4 m，b = 0.6 m，金属环上分别接有灯L1、L2，两灯的电阻均为R0 = 2 Ω，一金属棒MN与金属环接触，棒与环的电阻均忽略不计.

(1)若棒以v0=5 m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑动到圆环直径OO′的瞬时(如图所示)，MN中的电动势和流过灯L1的电流.

(2)撤去中间的金属棒MN将右面的半圆环OL2O′以OO′为轴向上翻转90°,若此时磁场随均匀，其率为 = T/s，求L2的功率.

【答案】(1)0.8 V 0.4A

(2)1.28×10-2W

【详解】(1)棒滑过圆环直径OO′的瞬时，MN中的电动势E1=B•2av0=0.2×0.8×5 V=0.8 V (3分)

等效电路如图所示，流过灯L1的电流I1= =0.4A (3分)

二、导体切割磁感线产生感应电动势的计算

1.导体平动切割磁感线

导体平动切割磁感线产生感应电动势的计算式 E=Blv，应从几个理解和.

(1)公式使用条件：本公式是在条件下得出的，除了磁场是匀强磁场外，还需B、l、v三者垂直.问题中当它们不垂直时，应取垂直的分量计算，公式可为E=Blvsinθ,θ为B与v方向间的夹角.

(2)使用范围：导体平动切割磁感线时，若v为平均速度，则E为平均感应电动势，即 =Bl .若v为瞬时速度，则E为的瞬时感应电动势.

(3)性：公式中的l为切割长度，即导体与v垂直的方向上的投影长度.图中长度分别为：

甲图：l=cdsinβ;

乙图：沿v1方向运动时，l=MN

沿v2方向运动时，l=0.

丙图：沿v1方向运动时，l= R

沿v2方向运动时，l=0

沿v3方向运动时，l=R

(4)性：E=Blv中的速度v是相磁场的速度，若磁场也运动，应注意速度间的关系.

2.导体转动切割磁感线

当导体棒在垂直于磁场的平面内，绕其一端为轴,以角速度ω匀速转动时，产生的感应电动势为E=Bl = Bl2ω，如图所示.

【例2】(12分)金属杆MN和PQ间距为l,MP间接有电阻R,磁场如图所示,磁感应强度为B.金属棒AB长为2l,由图示位置以A为轴,以角速度ω匀速转过90°(顺时针).求该过程中(电阻不计):

(1)R上的最大电功率.

(2)R的电量.

【详解】AB转动切割磁感线,且切割长度由l增至2l以后AB离开MN,电路断开. (2分)

(1)当B端恰至MN上时,E最大.

三、通电自感和断电自感的

【例3】(2010•北京高考)在如图所示的电路中，两个相同的小灯泡L1和L2分别串联带铁芯的电感线圈L和滑动变阻器R.闭合开关S后，R，使L1和L2发光的亮度一样，此时流过两个灯泡的电流为I.然后，断开S.若t′时刻再闭合S，则在t′前后的一小段内，反映流过L1的电流i1、流过L2的电流i2随t的图象是( )

【答案】选B.

【详解】闭合开关S后，R，使两个灯泡L1、L2发光的亮度一样，电流为I，说明RL=R.若t′时刻再闭合S，流过电感线圈L和灯泡L1的电流迅速增大，使电感线圈L产生自感电动势，阻碍了流过L1的电流i1增大，直至到达电流I，故A错误，B;而t′时刻再闭合S，流过灯泡L2的电流i2立即电流I，故C、D错误.

【感悟高考真题】

1.(2011•北京高考•T19)某同学验证断电自感，找来带铁心的线圈L、小灯泡A 、开关S和电池组E，用导线将它们连接成如图所示的电路。检查电路后，闭合开关s，小灯泡发光;再断开开关S，小灯泡仅有不的延时熄灭。虽经多次重复，仍未见老师演示时的小灯泡闪亮，他冥思苦想找不出原因。你最有小灯泡未闪亮的原因是

A.电源的内阻

B.小灯泡电阻偏大

C.线圈电阻偏大

D.线圈的自感系数

【答案】选C.

【详解】实物连线图画出的电路图，当闭合电键S，电路稳定之后，小灯泡中有稳定的电流 ，电感线圈中有稳定的电流 ，当电键S突然断开时，电流 立即消失，，自感电动势的作用，流过线圈的电流 突变，而是要流动，于是，电感线圈和小灯泡构成了回路， ，则能观察到小灯泡闪亮一下再熄灭，线圈的自感系数越大，小灯泡延时闪亮的就越长.不 的条件，小灯泡只是延时熄灭，不会观察到闪亮一下再熄灭.可见灯泡未闪亮的原因是不 的条件，这是线圈电阻偏大的 偏小。本题选项是C.

2.(2011•四川理综•T20)如图所示，在匀强磁场中匀速转动的矩形线圈的周期为T,转轴O1O2垂直于磁场方向，线圈电阻为2 .从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈转过60°时的感应电流为1A.那么

A.线圈消耗的电功率为4W

B.线圈中感应电流的值为2A

C.任意时刻线圈中的感应电动势为e = 4cos

D.任意时刻穿过线圈的磁通量为 = sin

【答案】选AC.

【详解】线圈垂直于中性面启动，则瞬时表达式可记为 ，代入数据可知 ，得最大值 ，即值  ，功率为 ，瞬时值表达式为 .故A、C，B错误。再 ，则任意时刻穿过线圈的磁通量为 ，可知D错误.

3.(2011•广东理综•T15)将闭合多匝线圈置于仅随的磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，关于线圈中产生的感应电动势和感应电流，下列表述的是

A.感应电动势的大小与线圈的匝数无关

B.穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大

C.穿过线圈的磁通量越快，感应电动势越大

D.感应电流产生的磁场方向与原磁场方向相同

【答案】选C.

【详解】由法拉第电磁感应定律知： ，可见感应电动势的大小与线圈的匝数，A错误;感应电动势的大小取决于磁通量的快慢，而与磁通量的大小无关，B错误，C;

感应电流产生的磁场阻碍原磁场的，当原磁场增大时，感应电流产生的磁场与其相反，D错误。

4.(2011•福建理综•T17)如图，足够长的U型光滑金属导轨平面与面成 角(0< <90°),MN与 平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计。金属棒 由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨垂直且接触， 棒接入电路的电阻为R，当流过 棒某一横截面的电量为q时，棒的速度大小为 ，则金属棒 在过程中

A.运动的平均速度大小为

B.下滑的位移大小为

C.产生的焦耳热为

D.受到的最大安培力大小为

【答案】选B.

【详解】由E=BLV、 、F安=BIL可得棒的速度为V时的安培力为 ，D错;对导体棒受力分析如图所示 据牛顿运动定律判断可得导体棒的运动情况如图所示 由图可知导体棒过程的平均速度大于 ，A错;由法拉第电磁感应定律导体棒过程的电量 ，导体棒下滑的位移 ，B对;由能量关系可得过程产生的焦耳热 ，C错，故选B.

5.(2011•江苏物理•T2)如图所示，固定的长直导线中通有电流 ，矩形线框与导线在同一竖直平面内，且一边与导线平行。线框由静止释放，在下落过程中

A.穿过线框的磁通量不变

B.线框中感应电流方向不变

C.线框所受安培力的合力为零

D.线框的机械能增大

【答案】选B.

【详解】线框下落中距离直导线越来越远，磁场越来越弱，但磁场方向不变，磁通量越来越小，楞次定律可知感应电流的方向不变，A错B对，线框左边和右边所受安培力总是大小相等，方向相反，但上下两边磁场强弱不同安培力大小不同，合力不为零，C错，下落过程中机械能越来越小，D错。

8.(2011•江苏物理•T5)如图所示，面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计。匀强磁场与导轨平面垂直。阻值为R的导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨接触。t=0时，将开关S由1掷到2。q、i、v和a分别表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度和加速度。下列图象的是

【思路点拨】解答本题时要注意理解：(1)导体棒电容器放电时可看作电源(2)导体棒因在磁场中运动而产生感应电动势(3)的结果是电容器两端的电压等于导体棒两端的电压

【精讲精析】选D.当开关由1掷到2，电容器放电，导体棒因受安培力而向右加速，导体棒向右运动产生感应电动势，电容器两端电压和导体棒两端电压相等，电容器的带电量不变，导体棒的速度不变，但不等于零，AC错，导体棒加速度棒中电流为零，B错，D对。

6.(2011•江苏物理•T6)美国科学家Willard S.Boyle与George E.Smith 因电荷耦合器件(CCD)的发明荣获2009年度诺贝尔物理学奖。CCD是将光学量转变成电学量的传感器。下列器件可传感器的有

A.发光二极管 B.热敏电阻 C.霍尔元件 D.干电池

【答案】选BC.

【详解】传感器的原理是将非电学量转化为电学量，例如热敏电阻阻值随温度而，可将温度量转化为电压电流等电学量，霍尔元件可将磁感应强度量转化为电压电流等电学量，而发光二极管干电池都将非电学量转化为电学量，选BC.

7、 (2010•江苏卷)2、一矩形线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场方向垂直，先线框的面积不变，将磁感应强度在1 s 内均匀地增大到原来的两倍，接着增大后的磁感应强度不变，在1 s 内，再将线框的面积均匀地减小到原来的一半，两个过程中，线框中感应电动势的比值为

(A) (B)1 (C)2 (D)4

.【答案】B 难度：易 本题考查电磁感应定律的应用

【解析】

,大小相等，选B。

8、 (2010•江苏卷)4.如图所示的电路中，电源的电动势为E,内阻为r,电感L的电阻不计，电阻R的阻值大于灯泡D的阻值，在t=0时刻闭合开关S，一段后，在t=t1时刻断开S,下列表示A、B两点间电压UAB随t的图像中，的是

选B 考查自感和电压图象。 难度：难

【解析】开关闭合时，线圈的自感阻碍作用，可看做电阻，线圈电阻逐渐减小，并联电路电阻逐渐减小。电压 逐渐减小;开关闭合后再断开时，线圈的感应电流与原电流方向相同，回路，灯泡的电流与原来相反，并逐渐减小到0，本题选B。

9、 (2010•广东卷)16. 如图5所示，平行导轨间有一矩形的匀强磁场区域，细金属棒PQ沿导轨从MN处匀速运动到M'N'的过程中，棒上感应电动势E随t的图示，的是

答案：A

解析：MN磁场中才切割磁感线，中间过程有感应电动势，选A。

10、 (2010•山东卷)21.如图所示，空间两个磁场，磁感应强度大小均为 ，方向相反且垂直纸面， 、 为其边界，OO′为其对称轴。一导线折成边长为 的正方形闭合回路 ，回路在纸面内以恒定速度 向右运动，当运动到关于OO′对称的位置时

A.穿过回路的磁通量为零

B.回路中感应电动势大小为2B

C.回路中感应电流的方向为顺时针方向

D.回路中 边与 边所受安培力方向相同

答案：ACD

解析：右手定则，回来中感应电流的方向为逆时针方向。

本题考查电磁感应、磁通量、右手定则，安培力，左手定则等知识。

难度：易。

11、 (2010•上海物理)19. 如图，一有界区域内，着磁感应强度大小均为 ，方向分别垂直于光滑桌面向下和向上的匀强磁场，磁场宽度均为 ，边长为 的正方形框 的 边紧靠磁场边缘置于桌面上，使线框从静止开始沿 轴正方向匀加速磁场区域，若以逆时针方向为电流的正方向，能反映线框中感应电流规律的是图

解析：在0- ，电流均匀增大，排除CD.

在 - ，两边感应电流方向相同，大小相加，故电流大。

在 ，因右边离开磁场，一边产生感应电流，故电流小，选A。

本题考查感应电流及图象。

难度：难。

12、 (2010•上海物理)21.如图，金属环A用轻绳悬挂，与长直螺线管共轴，并位于其左侧，若变阻器滑片P向左移动，则金属环A将向_____(填“左”或“右”)运动，并有_____(填“收缩”或“扩张”)趋势。

解析：变阻器滑片P向左移动，电阻变小，电流变大，楞次定律，感应电流的磁场方向原电流磁场方向相反，吸引，则金属环A将向右移动，因磁通量增大，金属环A有收缩趋势。

本题考查楞次定律。难度：易。

13、 (2010•浙江卷)19. 半径为r带缺口的刚性金属圆环在纸面上固定放置，在圆环的缺口两端引出两根导线，分别与两块垂直于纸面固定放置的平行金属板连接，两板间距为d，如图(上)所示。有一的磁场垂直于纸面，规定向内为正，规律如图(下)所示。在t=0时刻平板之间中心有一重力不计，电荷量为q的静止微粒，则说法的是

A. 第2秒内上极板为正极

B. 第3秒内上极板为负极

C. 第2秒末微粒回到了原来位置

D. 第3秒末两极板之间的电场强度大小为0.2

答案：A

14、 (2010•四川卷)19.图甲所示电路中， 为相同的电流表，C为电容器，电阻 的阻值相同，线圈L的电阻不计。在某段内理想变压器原线圈内磁场的如图乙所示，则在 内

A.电流表 的示数比 的小

B.电流表 的示数比A3的小

C.电流表 和 的示数相同

D.电流表的示数都不为零

答案：C

【解析】由B-t图像知在t1-t2内，原线圈中磁场先负向减小后正向增大，则副线圈中磁通量是均匀的，法拉第电磁感应定律在副线圈中产生的感应电流大小不变，再楞次定则可判断负向较小时和正向增大时感应电流的方向相同，则在t1-t2内副线圈中个电流为稳恒电流，A1和A2的示数相同，A3的示数为0，答案C。

【考点模拟演练】

1.(2011•福州模拟)如图所示，在x≤0的区域内匀强磁场，磁场的方向垂直于xy平面(纸面)向里.电阻的矩形线框abcd位于xy平面内，线框的ab边与y轴重合.令线框从t=0时刻起由静止开始沿x轴正方向做匀加速运动，则线框中的感应电流I(取逆时针方向为电流正方向)随t的图线I-t图是下图中的( )

【答案】选D.

【详解】线框匀加速向右运动时，cd边切割磁感线，由右手定则知电流方向为顺时针，方向为负;由E=Blv知，v均匀，电流成线性增大，故D项.

2.(2011•江门模拟)如图所示，电路中A、B是完全相同的灯泡，L是一带铁芯的线圈.开关S原来闭合，则开关S断开的瞬间( )

A.L中的电流方向，灯泡B立即熄灭

B.L中的电流方向不变，灯泡B要过一会儿才熄灭

C.L中的电流方向，灯泡A比B熄灭慢

D.L中的电流方向不变，灯泡A比B熄灭慢

【答案】选D.

【详解】当开关S断开时，L与灯泡A组成回路，自感，L中的电流由原来数值逐渐减小，电流方向不变，A灯熄灭要慢;B灯电流瞬间消失，立即熄灭，的选项为D.

3.(2011•东城区模拟)如图所示的电路,电源电动势为E,线圈L的电阻不计.判断的是( )

A.闭合S,稳定后,电容器两端电压为E

B.闭合S,稳定后,电容器的a极板带正电

C.断开S的瞬间,电容器的a极板将带正电

D.断开S的瞬间,电容器的a极板将带负电

【答案】选C.

【详解】由题意及自感规律可知,当开关S闭合且电路稳定后,电容器与线圈L并联,线圈的直流电阻不计,两端电压为零,故A、B错误;断开S的瞬间,由自感规律可知,线圈中要产生感应电动势,感应电动势引起的感应电流的方向与原电流的方向,电容器的a极板将带正电,故C.

4.如图所示，平行导轨间距为d，一端跨接电阻R，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于平行金属导轨所在平面.一根金属棒与导轨成θ角放置，金属棒与导轨的电阻均不计.当金属棒沿垂直于棒的方向以恒定的速度v在金属导轨上滑行时，电阻R的电流是(　　)

A.BdvR B.BdvsinθR

C.BdvcosθR D.BdvRsinθ

【答案】D

【详解】电流应等于感应电动势除以电阻R，问题在于感应电动势应如何计算.能够引起感应电流的电动势是MN间产生的电动势，切割长度应为MN.而MN用已知参数表示应为dsinθ，切割长度l=dsinθ.则E=Blv=Bdvsinθ，I=ER=BdvRsinθ，选项D.

5.物理实验中，常用叫做“冲击电流计”的仪器测定电路的电荷量，如图所示，探测线圈与冲击电流计串联后可用来测定磁场的磁感应强度.已知线圈匝数为n，面积为S，线圈与冲击电流计组成的回路电阻为R.若将线圈被测匀强磁场中，开始线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转180°，冲击电流计测出线圈的电荷量为q，

由上述数据可测出被测磁场的磁感应强度为

(　　)

A.qR2nS B.qRnS

C.qR2S D.qRS

【答案】A

【详解】由E=nΔΦΔt，I=ER，q=IΔt，得q=nΔΦR，当线圈翻转180°时，ΔΦ=2BS，故B=qR2nS，故选A.

6.如图 (a)、(b)所示的电路中，电阻R和自感线圈L的电阻值都很小，且小于灯A的电阻，接通S，使电路稳定，灯泡A发光，则

(　　)

A.在电路(a)中，断开S后，A将逐渐变暗

B.在电路(a)中，断开S后，A将先变得更亮，然后逐渐变暗

C.在电路(b)中，断开S后，A将逐渐变暗

D.在电路(b)中，断开S后，A将先变得更亮，然后渐渐变暗

【答案】AD

【详解】(a)电路中，灯A和线圈L串联，电流相同，断开S时，线圈上产生自感电动势，阻碍原电流的减小，R、A回路，渐渐变暗.(b)电路中电阻R和灯A串联，灯A的电阻大于线圈L的电阻，电流则小于线圈L中的电流，断开S时，电源不给灯供电，而线圈产生自感电动势阻碍电流的减小，R、A回路，灯A中电流比原来大，变得更亮，然后渐渐变暗.选项AD.

7.如图所示，两块竖直放置的金属板间距为d，用导线与一匝数为n的线圈连接.线圈内布有方向向左的匀强磁场.两板间有质量、电荷量为+q的油滴在与方向成30°角斜向右上方的恒力F的作用下恰好平衡状态.则线圈内磁场的情况和磁通量的率分别是(　　)

A.磁场正在，ΔΦΔt=3dF2q

B.磁场正在减弱，ΔΦΔt=3dF2nq

C.磁场正在减弱，ΔΦΔt=3dF2q

D.磁场正在，ΔΦΔt=3dF2nq

【答案】B

【详解】本题涉及带电粒子在电场中的平衡及感应电动势两个问题.直流电电容器，，电容器两极板间电压为线圈上感应电动势的大小，带电油滴所受重力竖直向下，恒力F与方向成30°斜向右上方，且带电油滴恰好平衡状态，则可知油滴所受电场力方向向左，电容器右极板带正电，由楞次定律可知磁场正在减弱;由带电粒子方向受力平衡可得F•cos 30°=nΔΦqΔtd，得ΔΦΔt=3dF2nq.

8.穿过闭合回路的磁通量Φ随t的图象分别如图①～④所示，下列关于回路中产生的感应电动势的论述，的是(　　)

A.图①中，回路产生的感应电动势恒定不变

B.图②中，回路产生的感应电动势一直不变

C.图③中，回路在0～t1内产生的感应电动势小于在t1～t2内产生的感应电动势

D.图④中，回路产生的感应电动势先变小再变大

【答案】BD

【详解】在图①中，ΔΦΔt=0，感应电动势为零，故选项A错;在图②中，ΔΦΔt为值，故感应电动势不变，选项B;在图③中，0～t1内的ΔΦΔt比t1～t2内的ΔΦΔt大，选项C错;在图④中，图线上各点切线的斜率值先变小、后变大，故选项D对.

9.如右图a是用电流传感器(于电流表，其电阻可以忽略不计)自感的实验电路，图中两个电阻的阻值均为R，L是自感系数足够大的自感线圈，其直流电阻值也为R.图b是某同学画出的在t0时刻开关S切换前后，传感器的电流随的图象.关于图象，下列说法中的是(　　)

b

A.图b中甲是开关S由断开变为闭合，传感器1的电流随的情况

B.图b中乙是开关S由断开变为闭合，传感器2的电流随的情况

C.图b中丙是开关S由闭合变为断开，传感器2的电流随的情况

D.图b中丁是开关S由闭合变为断开，传感器2的电流随的情况

【答案】　C

【详解】开关S由断开变为闭合瞬间，流过自感线圈的电流为零，流过传感器1、2的电流均为E2R;闭合电路稳定后，流过传感器1的电流为2E3R，流过传感器2的电流为E3R;开关断开后，流过传感器1的电流立即变为零，流过传感器2的电流方向相反，从E3R逐渐变为零.由分析可知，选项C.

10.如下图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路.虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面.回路以速度v向右匀速磁场，直径CD与MN垂直.从D点到达边界开始到C点磁场为止，下列结论的是(　　)

A.感应电流方向

B.CD段直导线不受安培力

C.感应电动势最大值Em=Bav

D.感应电动势平均值E=12Bav

【答案】C

【详解】楞次定律可判定闭合回路中产生的感应电流方向不变，A项错误;CD段电流方向是D指向C，左手定则可知，CD段受到安培力，且方向竖直向下，B错;当有一半磁场时，产生的感应电流最大，Em=Bav，C对;由法拉第电磁感应定律得E=ΔΦΔt=πBav4，D错.

11.位于竖直平面内的矩形平面导线框abdc，ab长L1=1.0 m，bd长L2=0.5 m，线框的质量m=0.2 kg，电阻R=2 Ω.其下方有一匀强磁场区域，该区域的上、下边界PP′和′均与ab平行.两边界间距离为H，H>L2，磁场的磁感应强度B=1.0 T，方向与线框平面垂直。如图27所示，令线框的dc边从离磁场区域上边界PP′的距离为h=0.7 m处自由下落.已知线框的dc边磁场以后，ab边到达边界PP′之前的某一时刻线框的速度已阶段的最大值.问从线框开始下落，到dc边刚刚到达磁场区域下边界′的过程中，磁场作用于线框的安培力所做的总功为多少?(g取10 m/s2)

【答案】-0.8 J

【详解】本题中重力势能转化为电能和动能，而安培力做的总功使重力势能一转化为电能，电能的多少等于安培力做的功.

依题意，线框的ab边到达磁场边界PP′之前的某一时刻线框的速度阶段速度最大值，以v0表示最大速度，则有

E=BL1v0

线框中电流　I=ER=BL1v0R

作用于线框上的安培力　F=BL1I=B2L21v0R

速度最大值条件是　F=mg

v0=mgRB2L21=4 m/s.

dc边向下运动过程中，直至线框的ab边磁场的上边界PP′，线框速度v0不变，故从线框自由下落至ab边磁场过程中，由动能定理得：

mg(h+L2)+W安=12mv20

W安=12mv20-mg(h+L2)=-0.8 J

ab边磁场后，直到dc边到达磁场区下边界′过程中，作用于整个线框的安培力为零，安培力做功也为零，线框只在重力作用下做加速运动，故线框从开始下落到dc边刚到达磁场区域下边界′过程中，安培力做的总功即为线框自由下落至ab边磁场过程中安培力所做的功

W安=-0.8 J

负号表示安培力做负功.

12.如右图所示，两根平行金属导轨固定在同一面内，间距为l，导轨左端连接电阻R.一根质量为m、电阻为r的金属杆ab垂直放置在导轨上.在杆的右方距杆为d处有匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向下，磁感应强度为B.对杆施加大小为F、方向平行于导轨的恒力，使杆从静止开始运动，已知杆到达磁场区域时速度为v，之后磁场恰好做匀速运动.不计导轨的电阻，假定导轨与杆之间恒定的阻力.求：

(1)导轨对杆ab的阻力大小Ff;

(2)杆ab中的电流及其方向;

(3)导轨左端所接电阻R的阻值.

【答案】　(1)F-mv22d　(2)mv22Bld　方向　a→b　(3)2B2l2dmv-r

【详解】(1)杆磁场前做匀加速运动，有

F-Ff=ma①

v2=2ad②

解得导轨对杆的阻力

Ff=F-mv22d.③

(2)杆磁场后做匀速运动，有F=Ff+FA④

杆ab所受的安培力

FA=IBl⑤

解得杆ab中的电流

I=mv22Bld⑥

杆中的电流方向自a流向b.⑦

(3)杆ab产生的感应电动势

E=Blv⑧

杆中的感应电流

I=ER+r⑨

解得导轨左端所接电阻阻值

R=2B2l2dmv-r.⑩