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天津高考数学压轴题解题思路

编辑:sx_mengxiang

2014-05-26

已知函数

fleft ( x right )=x-lnleft ( x+a right )

的最小值为0,其中a>0.

(1)求a的值;

(2)若对任意的

xepsilon [0,+infty )

,有

fleft ( x right )leq kx^{2}

成立,求实数k的最小值;

(3)证明

sum_{i=1}^{n}frac{2}{2i-1}-lnleft ( 2n+1 right )<2left ( nepsilon N^{*} right )

分析:第一问不多讲,简单的由最值求参数问题,a=1.

第二问的设计表明,天津高考数学命题的难点开始转移,由原来的数列压轴朝导数综合题转化。而导数综合题的命制也在向外省学习,这个恒成立问题的命制方法来源于前几年全国卷.

处理这类问题的常规手段有两个:

1.分离参数的方法,将k从不等式中分离出来。如果新函数的最值非常难求,就要使用第二个方法.

2.不等式右侧归零,左侧构造成新函数。研究这个新函数的最值,通常会涉及到分类讨论思想.

通过权衡比较,发现本题只能采用第2个手段.

构造函数

gleft ( x right )=x-lnleft ( x+1 right )-kx^{2}

,则g(x)的最大值要小于等于零.

这样的题通常有一个套路,全国卷曾多次考到这个类型。套路是这样的:

1.通常区间的端点对应的函数值为零。比如,本题g(0)=0,所以本题只需

gleft ( x right )leq gleft ( 0 right )

2.k取值的某个区间是符合题意的,此时通常函数是单调的,这个k值范围是最后结果;k取值的另外一些区间是不符合题意的,这部分k取值要舍去,当然要说明为什么舍去,理由通常是不能保证恒成立,即在x的取值范围内可以举出反例使不等式不成立.

至于如何对k值进行讨论,后面将写专门的文章来阐述分类讨论的方法.

下面是第二问的解答过程,各位读者注意书面表达能力的培养.

当k<0时,取x=1,有f(1)=1-ln2>0,故k<0不符题意;同理,k=0也不符合题意.

当k>0时,令

gleft ( x right )=fleft ( x right )-kx^{2}

,即

gleft ( x right )=x-lnleft ( x+1 right )-kx^{2}

g

令g'(x)=0,得

x_{1}=0,x_{2}=frac{1-2k}{2k}>-1

kgeq frac{1}{2}

时,

frac{1-2k}{2k}leq 0

,g'(x)<0在

left ( 0,+infty  right )

上恒成立,所以g(x)在

[0,+infty )

上单调递减.从而对于任意的

xepsilon [0,+infty )

,总有

gleft ( x right )leq gleft ( 0 right )=0

,即

fleft ( x right )leq kx^{2}

[0,+infty )

上恒成立.

kgeq frac{1}{2}

符合题意.

0<k<frac{1}{2}

时,

frac{1-2k}{2k}>0

,对于

xepsilon left ( 0,frac{1-2k}{2k} right ),g

,故g(x)在

left ( 0,frac{1-2k}{2k} right )

内单调递增,因此当取

x_{0}epsilon left ( 0,frac{1-2k}{2k} right )

时,

gleft ( x_{0} right )>gleft ( 0 right )=0

,即

fleft ( x_{0} right )leq kx_{0}^{2}

不成立,故

0< k< frac{1}{2}

不合题意.

综上,k的最小值为

frac{1}{2}

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