编辑:sx_mengxiang
2014-05-26
已知函数
的最小值为0,其中a>0.
(1)求a的值;
(2)若对任意的
,有
成立,求实数k的最小值;
(3)证明
分析:第一问不多讲,简单的由最值求参数问题,a=1.
第二问的设计表明,天津高考数学命题的难点开始转移,由原来的数列压轴朝导数综合题转化。而导数综合题的命制也在向外省学习,这个恒成立问题的命制方法来源于前几年全国卷.
处理这类问题的常规手段有两个:
1.分离参数的方法,将k从不等式中分离出来。如果新函数的最值非常难求,就要使用第二个方法.
2.不等式右侧归零,左侧构造成新函数。研究这个新函数的最值,通常会涉及到分类讨论思想.
通过权衡比较,发现本题只能采用第2个手段.
构造函数
,则g(x)的最大值要小于等于零.
这样的题通常有一个套路,全国卷曾多次考到这个类型。套路是这样的:
1.通常区间的端点对应的函数值为零。比如,本题g(0)=0,所以本题只需
2.k取值的某个区间是符合题意的,此时通常函数是单调的,这个k值范围是最后结果;k取值的另外一些区间是不符合题意的,这部分k取值要舍去,当然要说明为什么舍去,理由通常是不能保证恒成立,即在x的取值范围内可以举出反例使不等式不成立.
至于如何对k值进行讨论,后面将写专门的文章来阐述分类讨论的方法.
下面是第二问的解答过程,各位读者注意书面表达能力的培养.
当k<0时,取x=1,有f(1)=1-ln2>0,故k<0不符题意;同理,k=0也不符合题意.
当k>0时,令
,即
令g'(x)=0,得
当
时,
,g'(x)<0在
上恒成立,所以g(x)在
上单调递减.从而对于任意的
,总有
,即
在
上恒成立.
故
符合题意.
当
时,
,对于
,故g(x)在
内单调递增,因此当取
时,
,即
不成立,故
不合题意.
综上,k的最小值为
标签:天津高考数学
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