2014年山西高考数学理科模拟题

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合，，那么

(A) 或 (B)

(C) 或 (D)

2.的展开式中常数项是

(A) -160 　　　　　 (B) -20 　　　 (C) 20 　　　　　　(D) 160

3.2014年山西高考数学理科模拟题：已知平面向量，的夹角为60°，，，则

(A) 2 　　　　　　 (B) 　　　　(C) 　　　　　　 (D)

4.设等差数列的公差≠0，.若是与的等比中项，则

(A) 3或 -1 　　　　　 (B) 3或1 　　　 (C) 3 　　　　　　　 (D) 1

5.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面.有下列四个命题：

① 若，，则; ② 若//，，则m //;

③ 若，，，则; ④ 若，，，则.

其中正确命题的序号是

(A) ①③ 　　　　 (B) ①② 　　　 (C)③④ 　　　　　　 (D) ②③

6.已知函数 若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是

(A) (B)

(C) 　　　 (D)

7.从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为

(A) 　　　　 (B) 　　 (C) 　　　　 (D)

8.对于定义域和值域均为[0，1]的函数f(x)，定义，，…，，n=1，2，3，….满足的点x∈[0，1]称为f的阶周期点.设 则f的阶周期点的个数是

(A) 2n 　　　　 　　(B) 2(2n-1) (C) 2n 　　　　　　　　 (D) 2n2

第Ⅱ卷(非选择题 共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，

点A的纵坐标为，则cosα= 　　　　　 .

10.双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为 　 ，渐近线方程为 　 .

11.已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线(t为参数)的距离为 　　　　 .

12.如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O

于B，弦MN过CD的中点P.已知AC=4，AB=6，则MP·NP= 　　　 .

13.对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：

花期(天) 11～13 14～16 17～19 20～22

个数 20 40 30 10

则这种卉的平均花期为　　　　天.

14.将全体正奇数排成一个三角形数阵：

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

……

按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为 　　　　 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.(本小题共13分)

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc.

(Ⅰ)求角A的大小;

(Ⅱ)设函数，当取最大值时，判断△ABC的形状.

16.(本小题共14分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，

平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，

BC=AD=1，CD=.

(Ⅰ)若点M是棱PC的中点，求证：PA // 平面BMQ;

(Ⅱ)求证：平面PQB⊥平面PAD;

(Ⅲ)若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值 .

17.(本小题共13分)

某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”.顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球.获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖;不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖;取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖.

(Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率;

(Ⅱ)设摸球次数为，求的分布列和数学期望.

18.(本小题共13分)

已知函数，为函数的导函数.

(Ⅰ)设函数f(x)的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是，求的值;

(Ⅱ)若函数，求函数的单调区间.

19.(本小题共14分)

已知点，，动点P满足，记动点P的轨迹为W.

(Ⅰ)求W的方程;

(Ⅱ)直线与曲线W交于不同的两点C，D，若存在点，使得成立，求实数m的取值范围.

20.(本小题共13分)

已知，或1，，对于，表示U和V中相对应的元素不同的个数.

(Ⅰ)令，存在m个，使得，写出m的值;

(Ⅱ)令，若，求证：;

(Ⅲ)令，若，求所有之和.

2014年山西高考数学理科模拟题参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 B A C C D D B C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 10.， 11.2

12. 13.16天(15.9天给满分) 14.n2-n+5

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.(本小题共13分)

解：(Ⅰ)在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得cosA=.(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) …………… 3分

∵ 0

∴. ……………………5分

(Ⅱ) ………………7分

， ……………………9分

∵ ∴ ∴ (没讨论，扣1分) ………10分

∴当，即时，有最大值是…………………11分

又∵， ∴ ∴△ABC为等边三角形. ………………13分

16.(本小题共14分)

证明：(Ⅰ)连接AC，交BQ于N，连接MN. ……………………1分

∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ.

∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，

又∵点M是棱PC的中点，

∴ MN // PA ……………………2分

∵ MN平面MQB，PA平面MQB，…………………3分

∴ PA // 平面MBQ. ……………………4分

(Ⅱ)∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ . ……………………6分

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD， ……………………7分

∴BQ⊥平面PAD. ……………………8分

∵BQ平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD. …………………9分

另证：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ，

∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ .

∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD. …………………6分

∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD. ……………………7分

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ. …………………8分

∵ AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD. ……………………9分

(Ⅲ)∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD.

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD.……………10分

(不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分)

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系.

则平面BQC的法向量为;

，，，.………11分

设，

则，，∵，

∴ ， ∴ ……………………12分

在平面MBQ中，，，

∴ 平面MBQ法向量为. ……………………13分

∵二面角M-BQ-C为30°， ，∴ .……14分

17.(本小题共13分)

解：(Ⅰ)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C. ……1分

则P(A)=，(列式正确，计算错误，扣1分) ………3分

P(B) (列式正确，计算错误，扣1分) ………5分

三等奖的情况有：“生，生，意，兴”;“生，意，意，兴”;“生，意，兴，兴”三种情况.

P(C).…7分

(Ⅱ)设摸球的次数为，则. ……8分

， ，

，.(各1分)

故取球次数的分布列为

1 2 3 4

…12分

.(约为2.7) …13分

18.(本小题共13分)

解：(Ⅰ)∵，

∴. ……………………1分

∵在处切线方程为，

∴， ……………………3分

∴，. (各1分) …………………5分

(Ⅱ).

. ………………7分

①当时，，

0

- 0 +

极小值

的单调递增区间为，单调递减区间为. ………………9分

②当时，令，得或 ……………10分

(ⅰ)当，即时，

0

- 0 + 0 -

极小值 极大值

的单调递增区间为，单调递减区间为，;……11分

(ⅱ)当，即时，，

故在单调递减; ……12分

(ⅲ)当，即时，

0

- 0 + 0 -

极小值 极大值

在上单调递增，在，上单调递减 ………13分

综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为;

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，

当时，的单调递减区间为;

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，.

(“综上所述”要求一定要写出来)

19.(本小题共14分) 解：(Ⅰ)由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为的椭圆.2分

∴，，.……3分

W的方程是.…………4分

(另解：设坐标1分，列方程1分，得结果2分)

(Ⅱ)设C，D两点坐标分别为、，C，D中点为.

由 得 . ……6分

所以 …………7分

∴， 从而.

∴斜率. ………9分

又∵， ∴，∴ 即 …10分

当时，; ……11分

当时，. ……13分

故所求的取范围是. ……14分

20.(本小题共13分)

解：(Ⅰ); ………3分

(Ⅱ)证明：令，

∵或1，或1;

当，时，

当，时，

当，时，

当，时，

故

∴

………8分

(Ⅲ)解：易知中共有个元素，分别记为

∵的共有个，的共有个.

∴=

=……13分 ∴=.

法二：根据(Ⅰ)知使的共有个

∴=

=

两式相加得 =(若用其他方法解题，请酌情给分)

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