答案解析

1.【解析】选D.由已知得,动点P到点A(0,2)的距离与它到直线l:y=-2的距离相等,根据抛物线的定义得,该轨迹为以A(0,2)为焦点,y=-2为准线的抛物线,且=2,∴p=4.又焦点在y轴上,开口向上,所以所求方程为:x2=8y.

2.【解析】选C.由已知(,0)在圆x2+y2+2x-3=0上,所以有+2×-3=0,

即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).

3.【解析】选D.由抛物线y=-2x2得x2=-y,

所以其焦点为F(0,-),

设点M纵坐标为y0,

由抛物线定义得-y0=1,得y0=-.

【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧

抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离;(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.

4.【解析】选B.设其中一个顶点为(x,2),∵是正三角形,∴=tan 30°=,即=,

∴x=12.

∴除原点外的另外两个顶点是(12,4)与(12,-4),

∴这个正三角形的边长为8.

5.【解析】选B.方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,∴y1+y2=2p,

由题意知:y1+y2=4,

∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,

其准线方程为x=-1,故选B.

方法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),

由题意得y1+y2=4,=2px1,=2px2,

两式相减得:kAB====1,∴p=2,

∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.

6.【解析】选C.过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D.因为|AF|=4，=3，所以|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得=，即=，解得a=2，所以=，即==，

所以p==，选C.

7.【解析】选D.由已知得F1(-c,0),F2(c,0),

抛物线x=y2,即y2=2bx的焦点F(,0),

依题意=.

即=,得:5b=2c⇒25b2=4c2,

又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,

解得c=a.

故双曲线的离心率为=.

8.【解析】选D.抛物线y=+2的准线是y=1,焦点F(0,3).用抛物线的定义:设P到准线的距离为d,

则y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1≥|FQ|+1=5+1=6,(当且仅当F,Q,P共线时取等号)

故y+|PQ|的最小值是6.

9.【解析】抛物线x2=16y的焦点为(0,4),准线方程为y=-4,故圆的圆心为(0,4),又圆与抛物线的准线相切,所以圆的半径r=4-(-4)=8,所以圆的方程为x2+(y-4)2=64.

答案:x2+(y-4)2=64

10.【解析】因为抛物线y=x2的标准方程为x2=16y,焦点坐标为(0,4),又因为双曲线-=1的上焦点坐标为(0,),依题意有4=,解得m=13.

答案:13

【误区警示】本题易出现y=x2的焦点为(0,)的错误,原因是对抛物线的标准方程记忆不准确.

11.【解析】由y2=4x得,抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,

由|a|>4知点A(4,a)在抛物线的外部,

要使|PA|+|PM|最小,只需|PA|+|PF|最小,这只需点A,P,F三点共线即可,此时:(|PA|+|PF|)min==,所以:|PA|+|PM|的最小值为(|PA|+|PF|)min-1=-1.

答案:-1

12.【解析】(1)由题意,得点P到直线y=-1和点(0,1)距离相等,

∴点P的轨迹是以点(0,1)为焦点,以直线y=-1为准线的抛物线,

∴曲线E的方程是x2=4y.

(2)设斜率为2的直线方程为y=2x+m,

由消去y,得x2-8x-4m=0,

由直线与曲线E相切,得Δ=(-8)2+16m=0,

得m=-8,

∴直线方程为y=2x-8,即2x-y-8=0.

∴原点到直线的距离为d==.

13.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p×1,

所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.

(2)存在.假设存在符合题意的直线l,

其方程为y=-2x+t.

由得y2+2y-2t=0.

∵直线l与抛物线C有公共点,

∴Δ=4+8t≥0,解得t≥-.

由直线OA与l的距离d=,可得=,

解得t=±1.

∵-1∉[-,+∞),1∈[-,+∞).

∴符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.

14.【解析】(1)设A(xA,yA),F1(-c,0),F2(c,0),曲线C1所在椭圆的长轴长为2a,则2a=|AF1|+|AF2|=6.

又由已知及圆锥曲线的定义得:

(xA-c)2+=,(xA+c)2+=,xA+c=,

得:(xA-c)2=.又∵∠AF2F1为钝角,

∴xA-c=,故xA=,c=1,

即曲线C1的方程为+=1(-3≤x≤),

曲线C2的方程为y2=4x(0≤x≤).

(2)设直线OC的方程为:y=k1x,

由

得(k1x)2-4x=0,即C(,),

同理得:D(,),

∴直线CD的方程为:y-=(x-),即y=x+2,

当x=0时,恒有y=2,即直线CD过定点(0,2).

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