4.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BCABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.

(1)用a，θ表示S1和S2;

(2)当a固定，θ变化时，求的最小值.

解　(1)S1=asin θ·acos θ=a2sin 2θ，

设正方形边长为x，则BQ=，RC=xtan θ，

∴+xtan θ+x=a，

∴x==，

S2==.

(2)当a固定，θ变化时，=，

令sin 2θ=t，则=(0

利用单调性求得t=1时，=.

5.已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和.

(1)若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3=(Sn)3成立，求数列{an}的通项公式;

(2)对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合.

(ⅰ)求a1，a2的值;

(ⅱ)求数列{an}的通项公式.

解　(1)设无穷等差数列{an}的公差为d，因为Sn3=(Sn)3对任意正整数n都成立，所以分别取n=1，n=2时，则有：

因为数列{an}的各项均为正整数，

所以d≥0.可得a1=1，d=0或d=2.

当a1=1，d=0时，an=1，Sn3=(Sn)3成立;

当a1=1，d=2时，Sn=n2，所以Sn3=(Sn)3.

因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an=1或an=2n-1.

(2)(ⅰ)记An={1，2，…，Sn}，显然a1=S1=1.

对于S2=a1+a2=1+a2，有A2={1，2，…，Sn}={1，a2，1+a2，|1-a2|}={1，2，3，4}，

故1+a2=4，所以a2=3.

(ⅱ)由题意可知，集合{a1，a2，…，an}按上述规则，共产生Sn个正整数.

而集合{a1，a2，…，an，an+1}按上述规则产生的Sn+1个正整数中，除1，2，…，Sn这Sn个正整数外，还有an-1，an+1+i，|an+1-i|(i=1，2，…，Sn)，共2Sn+1个数.

所以，Sn+1=Sn+(2Sn+1)=3Sn+1.

又Sn+1+=3，

所以Sn=·3n-1-=·3n-.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1

=·3n--=3n-1.

而a1=1也满足an=3n-1.

所以，数列{an}的通项公式是an=3n-1.

6.已知函数f(x)=aln x-(a为常数).

(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y-5=0垂直，求a的值;

(2)求函数f(x)的单调区间;

(3)当x≥1时，f(x)≤2x-3恒成立，求a的取值范围.

解　(1)函数f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)=.

又曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y-5=0垂直，

所以f′(1)=a+1=2，即a=1.

(2)由f′(x)=(x>0)，当a≥0时，

f′(x)>0恒成立，

所以f(x)的单调增区间为(0，+∞).

当a<0时，

由f′(x)>0，

得0

所以f(x)的单调增区间为;

由f′(x)<0，得x>-，

所以f(x)的单调减区间为.

(3)设g(x)=aln x--2x+3，x1，+∞)，

则g′(x)=+-2=.

令h(x)=-2x2+ax+1，考虑到h(0)=1>0，

当a≤1时，

h(x)=-2x2+ax+1的对称轴x=<1，

h(x)在[1，+∞)上是减函数，h(x)≤h(1)=a-1≤0，

所以g′(x)≤0，g(x)在[1，+∞)上是减函数，

所以g(x)≤g(1)=0，

即f(x)≤2x2-3恒成立.

a>1时，令h(x)=-2x2+ax+1=0，

得x1=>1，x2=<0，

当x∈[1，x1)时，h(x)>0，

即g′(x)>0，

g(x)在[1，x1)上是增函数;

当x∈(x1，+∞)时，h(x)<0，

即g′(x)<0，

g(x)在(x1，+∞)上是减函数.

所以0=g(1)

即f(x1)>2x1-3，不满足题意.

综上a的取值范围为a≤1.

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