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难点1 三角函数的图象和性质

1.关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R)有下列命题：

①由f(x1)=f(x2)，可得x1-x2必是π的整数倍;②若x>0.

(Ⅰ)将十字形的面积表示为θ的函数;

(Ⅱ)θ为何值时，十字形的面积最大?最大面积是多少?

2.若03sinx B.2x<3sinx

C.2x=3sinx D.与x的取值有关

即当x∈(arccos，)时，f(x)>0.口P2x>3sinx当x∈(0，arccoss)时，f(x)<0.即2x<3sinx.故选D.

3.设函数f(x)=xsinx(x∈R)

(1)证明f(x+2kπ)f(x)=2kπsinx.其中k∈Z;

(2)设x0是f(x)的一个极值点.证明[f(x0)]2=;

(3)设f(x)在(0，+∞)的全部极值点按从小到大的顺序a1,a2，…，an，…，证明：0，-π<φ<π)图象的一部分(如图所示)，则ω与φ 的值分别为(　　)

A.，- B.1，-

C.，- D.，-

8.已知y=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|≤)在区间[0,1]上是单调函数，其图象过点P1(-1,0)，P2(0,1)，则此函数的最小正周期T及φ的值分别是(　　)

A.T=4，φ= B.T=4，φ=1

C.T=4π，φ= D.T=4π，φ=-1

9.已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则·(+)(　　)

A.最大值为8 B.是定值6

C.最小值为2 D.与P的位置有关

10.如图，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足==2，若||=2，||=3，∠BAC=120°，则·的值为(　　)

A.-2 B.2

C. D.-

11.已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c,23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=(　　)

A.10 B.9

C.8 D.5

12.设F1、F2是椭圆+y2=1的两个焦点，点P在椭圆上，当△F1PF2的面积为1时，·的值为(　　)

A.0 B.1

C. D.2

13.已知椭圆+=1(a>b>0)，F(c,0)是右焦点，经过坐标原点O的直线l与椭圆交于点A、B，且·=0，|-|=2|-|，则该椭圆的离心率为(　　)

A. B.

C.-1 D.-1

14.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且==.若c=10，则△ABC的面积是________.

15.已知函数f(x)=cosxsinx，给出下列四个结论：

①若f(x1)=-f(x2)，则x1=-x2;

②f(x)的最小正周期是2π;

③f(x)在区间[-，]上是增函数;

④f(x)的图象关于直线x=对称.

其中正确的结论是________.

16.关于平面向量a、b、c，有下列四个命题：

①若a∥b，a≠0，则∃λ∈R，使b=λa;

②若a·b=0，则a=0或b=0;

③存在不全为零的实数λ，μ，使得c=λa+μb;

④若a·b=a·c，则a⊥(b-c).

其中正确的命题序号是________.

17.在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足=2，则·(+)等于________.

18.△ABC中，已知A=45°，cosB=.

(1)求sinC的值;

(2)若BC=10，D为AB的中点，求AB、CD的长.

在三角形BCD中，由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosB=37，∴CD=.

19.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知b(cosA-2cosC)=(2c-a)cosB.

(1)求的值;

(2)若cosB=，△ABC的周长为5，求b.

20.函数f(x)=sinωxcosφ-cosωxsinφ(ω>0,0<φ<π)的图象过点(，0)，且相邻两条对称轴间的距离为.

(1)求f(x)的表达式;

(2)试求函数y=f 2(x)+的单调增区间.

21.已知函数f(x)=sinx+acosx的一个零点是.

(1)求实数a的值;

(2)设g(x)=[f(x)]2-2sin2x，求g(x)的单调递增区间.

22.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β.

(1)证明：sinα+cos2β=0;

(2)若AC=DC，求β.

23.已知向量a=(sinωx,2cosωx)，b=(cosωx，-cosωx)(ω>0)，函数f(x)=a·(b+a)-1，且函数f(x)的最小正周期为.

(1)求ω的值;

(2)设△ABC的三边a、b、c满足：b2=ac，且边b所对的角为x，若方程f(x)=k有两个不同的实数解，求实数k的取值范围.

24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC=(3a-c)cosB.

(1)求cosB的值;

(2)若·=2，且b=2，求a和c的值.

25.已知在△ABC中，cosA=，a、b、c分别是角A、B、C所对的边.

(1)求tan2A的值;

(2)若sin(+B)=，c=2，求△ABC的面积.

26.已知向量m=1，sinωx+，n=(其中ω为正常数).

(1)若ω=1，x∈，求m∥n时tanx的值;

(2)设f(x)=m·n-2，若函数f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为，求f(x)在区间上的最小值.

27.在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c.已知cos2A-3cos(B+C)=1.

(1)求角A的大小;

(2)若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值.

28.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且(2b-c)cosA=acosC.

(1)求角A的大小;

(2)若角B=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积.

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