空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，威廉希尔app 整理了空间向量提分专练，帮助考生学习数学知识!

难点 1利用空间向量解立几中的探索性问题

1.如图11-23，PD面ABCD，ABCD为正方形，AB=2，E是PB的中点，且异面直线DP与AE所成的角的余弦为。

试在平面PAD内求一点F，使EF平面PCB。

2.如图11-25，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，面ABCD是一个直角梯形，AB、CD为梯形的两腰，且AB=AD=AA1=a。

()如果截面ACD1的面种为S，求点D到平面ACD1的距离;

()当为何值时，平面AB1C平面AB1D1。证明你的结论。

难点 2利用空间向量求角和距离

已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=a，AA1=1。

(1)棱BC上是否存在点P，使A1PPD，说明理由;

(2)若BC上有且仅有一点P，使A1PPD，试求此时的二面角P-A1D-A的大小。

【易错点点睛】

易错点 1求异面直线所成的角

1.如图11-1，四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB=90°，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。

(1)证明：面PAD面PCD;

(2)求AC与PB所成的角;

(3)求面AMC与面BMC所成二面角A-CM-B的大小。

A-MC-B为钝角，二面角A-CM-B的大小为。

2.如图11-2，在直四棱术ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，ADDC，ACBD，垂足为E。(1)求证BDA1C;

(2)求二面角A1-BD-C1的大小;

(3)求异面直线AD与BC1所成角的大小。

【特别提醒】

利用空间向量求异面直线所成的角，公式为cos关键是正确地建立坐标系进而写出各有关点的坐标，建立坐标会出现用三条

两两不垂直的直线作x轴、y轴、z轴的错误，还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点的三条直线作x轴、y轴、z轴的错误。写点的

坐标也容易出现错误，学习时要掌握一些特殊点坐标的特点，如x轴上的点坐标为(a，0，0)，xoz面上的点坐标为(a,0,b)等，其次还

应学会把某个平面单独分化出来，利用平面几何的知识求解，如本节的例2，求B的坐标。

【举一反三】

1.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2a,高为b，求异面直线AC1和A1B所成的角。

2.如图11-4，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D，BD的中点，G在CD上，且CG=CD，H为C1G的中点。

(1)求证：EFB1C;

3.如图11-5 四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，BC=2。(1)求证：平面PAD平面PCD;

(2)若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值;

(3)在BC边上是否存在一点G，使得D点在平面PAG的距离为1，如果存在，求出BG的值;如果不存在，请说明理由。

易错点 2求直线与平面所成的角

1.如图在三棱锥P—ABC中，ABBC，AB=BC=KPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC。

(1)当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的大小;

(2)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心?

2.如图11-7，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。(1)求证EF平面PAB;

(2)设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。

【特别提醒】求直线与平面所成角的公式为：sinθ=,其中a为直线上某线段所确定的一个向量，n为平面的一个法向量，这个公式很容易记错，

关键是理解，有些学生从数形结合来看，认为n应过直线上某个点，如例4中n应过C点，这是错误的，这里n是平面的任意一个法向量，

再说一个向量过某一个具体的点这种说法也是错误的。

【举一反三】

1如图11-9，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，ACB=90°AC=2，BC=6，D为A1B1的中点，异面直线CD与A1B垂直。

(1)求直三棱术ABC-A1B1C1的高;

2、如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F。(1)求证：A1C平面BED;

(2)求A1B与平面BDE所成的角是正弦值。

3、已知四棱锥P-ABCD(如图)，底面是边长为2的正方形，侧棱PA底面ABCD，M、N别为AD、BC的中点，MQPD于Q，直线PC与平面PBA所成角的正弦值为(1)求证：平面PMN平面PAD;

(2)求PA的长;

(3)求二面角P-MN-Q的余弦值。

易错点 3 求二面角的大小

在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD，如图11-12。(1)证明：AB平面VAD;

(2)求二面角A-VD-B的大小。

如图11-14，已知三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，ABC、PEF

都是正三角形，PFAB。(1)证明：PC平面PAB;

(2)求二面角P-AB-C的平面角的余弦值;

(3)若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求ABC的边长。

【特别提醒】

利用空间向量求二面角，先求两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出两法现量的夹角，二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补，具体是哪一种，一般有两种判断方法：(1)根据图形判断二面角是锐角还是钝角;(2)根据两法向量的方向判断。实际上很多求二面角的题目，还是传统方法(如三垂线定理作出二面角的平面角)简单，或传统方法与空间向量相结合来解。

【举一反三】

如图，在三棱锥P-OAC中，OP、OA、OC两两互相垂直，且OP=OA=1，OC=2，B为OC的中点。(1)求异面直线PC与AB所成角的余弦值;

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