从某种角度看数学属于形式科学的一种，下面是威廉希尔app 整理的定直线问题专项练习，请考生认真练习。

在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A，B两点。

(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值;

(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在，求出l的方程;若不存在，请说明理由。

破题切入点：假设符合条件的直线存在，求出弦长，利用变量的系数恒为零求解。

解：方法一：

(1)依题意，点N的坐标为N(0，-p)，

可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线AB的方程为y=kx+p，

与x2=2py联立得：

消去y得x2-2pkx-2p2=0。

由根与系数的关系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2。

于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|

=p|x1-x2|=p

=p=2p2，

∴当k=0时，(S△ABN)min=2p2。

(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，

AC的中点为O′，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，

则O′H⊥PQ，Q′点的坐标为。

∵O′P=AC==，

O′H==|2a-y1-p|，

∴PH2=O′P2-O′H2

=(y+p2)-(2a-y1-p)2

=(a-)y1+a(p-a)，

∴PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)]。

令a-=0，得a=，

此时PQ=p为定值，故满足条件的直线l存在，

其方程为y=，即抛物线的通径所在的直线。

方法二：

(1)前同方法一，再由弦长公式得

AB=|x1-x2|=2p，

又由点到直线的距离公式得d=。

从而S△ABN=·d·AB=2p=2p2。

∴当k=0时，(S△ABN)min=2p2。

(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，

则以AC为直径的圆的方程为

(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0，

将直线方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0，

则Δ=x-4(a-p)(a-y1)

=4[(a-)y1+a(p-a)]。

设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，

则有PQ=|x3-x4|=2。

令a-=0，得a=，

此时PQ=p为定值，故满足条件的直线l存在，

其方程为y=，即抛物线的通径所在的直线。

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