命题是指一个判断(陈述)的语义(实际表达的概念)，这个概念是可以被定义并观察的现象，以下是2016届安徽九姑中学高考数学四种命题经典例题，请考生练习。

设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p则q”形式为________.它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________.

分析 只要确定了“p”和“q”，则四种命题形式都好写了.

解 若两个角是对顶角，则两个角相等;若两个角相等，则这两个角是对顶角;若两个角不是对顶点，则这两个角不相等;若两个角不相等，则这两个角不是对顶角.

例3 “若P={x|x|<1}，则0∈P”的等价命题是________.

分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题.

≠{x||x|<1}”

例4 分别写出命题“若x2+y2=0，则x、y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题.

分析 根据命题的四种形式的结构确定.

解 逆命题：若x、y全为0，则x2+y2=0;

否命题：若x2+y2≠0，则x，y不全为0;

逆否命题：若x、y不全为0，则x2+y2≠0.

说明：“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”，应当是“x，y不全为0”，这要特别小心.

例5 有下列四个命题：

①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题;

②“相似三角形的周长相等”的否命题;

③“若b≤-1，则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;

[ ]

A.①② B.②③

C.①③ D.③④

分析 应用相应知识分别验证.

解 写出相应命题并判定真假

①“若x，y互为倒数，则xy=1”为真命题;

②“不相似三角形周长不相等”为假命题;

③“若方程x2-2bx+b2+b=0没有实根，则b>-1”为真命题;

选C.

例6 以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题.

①内接于圆的四边形的对角互补;

②已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d;

分析 首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题.

解 对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”;

逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”;

否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”;

逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”.

对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a=b，c=d”是条件，“a+c=b+d”是结论.所以：

逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a+c=b+d，则a=b，c=d”;

否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a+c≠b+d”(注意“a=b，c=d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可);

逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a+c≠b+d则a≠b或c≠d”.

逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a+c≠b+d则a=b，c=d两个等式至少有一个不成立”

说明：要注意大前题的处理.试一试：写出命题“当c>0时，若a>b，则ac>bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假.

例7 已知下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.

分析 如果从正面分类讨论情况要复杂的多，而利用补集的思想(也含有反证法的思想)来求三个方程都没有实根的a范围比较简单.

说明：利用补集思想，体现了思维的逆向性.

例8 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

②当abc=0时，a=0或b=0或c=0.

分析 改造原命题成“若p则q形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题.在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律.

命题;

②原命题;“若abc=0，则a=0或b=0或c=0”，是真命题;

逆命题：“若a=0或b=0或c=0，则abc=0”是真命题;

否命题：“若abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0”，是真命题;(注意：“a=0或b=0或c=0”的否定形式是“a≠0且b≠0且c≠0”

逆否命题：“若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0”，是真命题.

说明：判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性.

分析 如果直接从条件推证，方向不明，过程不可预测，较难，可以使用反证法.

解 设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则有a+b+c≤0，而

=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π

=(x-1)2+ (y-1)2+(z-1)2+(π-3)

∴ a+b+c>0这与a+b+c≤0矛盾.

因此a、b、c中至少有一个大于0.

说明：如下表，我们给出一些常见词语的否定.

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