空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，下面是空间向量及其运算专题训练，请考生及时练习。

一、选择题

1.以下四个命题中正确的是(　　).

A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B.若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间向量的另一组基底

C.ABC为直角三角形的充要条件是·=0

D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

解析　若a+b、b+c、c+a为共面向量，则a+b=λ(b+c)+μ(c+a)，(1-μ)a=(λ-1)b+(λ+μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a=b+c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾.

答案　B

2.若向量a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，满足条件(c-a)·(2b)=-2，则x= (　　).

A.-4 B.-2 C.4 D.2

解析　a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，

c-a=(0,0,1-x)，2b=(2,4,2).

(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2，x=2.

答案　D

3.若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　).

A.{a，a+b，a-b} B.{b，a+b，a-b}

C.{c，a+b，a-b} D.{a+b，a-b，a+2b}

解析　若c、a+b、a-b共面，则c=λ(a+b)+m(a-b)=(λ+m)a+(λ-m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a+b，a-b可构成空间向量的一组基底.

答案　C

4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为(　　).

A.0 　　　　B.

C. 　　　　D.

解析　设=a，=b，=c，

由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，

·=a·(c-b)=a·c-a·b=|a||c|-|a||b|=0，cos〈，〉=0.

答案　A5.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是(　　).

A.-a+b+c B.a+b+c

C.-a-b+c D.a-b+c

解析　=+=+(-)

=c+(b-a)=-a+b+c.

答案　A.如图，在大小为45°的二面角A-EF-D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)

A.

B.

C.1

D.

解析 =++，||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-，故||=.答案　D二、填空题

R，向量，且，则

解析 .

答案

8. 在空间四边形ABCD中，·+·+·=________.

解析　如图，设=a，=b，=c，

·+·+·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=0.

答案　0.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，(++)2=32;·(-)=0;向量与向量的夹角是60°;正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________.

解析 由，，⊥，得(++)2=3()2，故正确;中-=，由于AB1A1C，故正确;中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故不正确;中|··|=0.故也不正确.

答案

10.如图，空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，OAC=45°，OAB=60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________.

解析　设=a，=b，=c.

OA与BC所成的角为θ，

·=a(c-b)=a·c-a·b=a·(a+)-a·(a+)=a2+a·-a2-a·=24-16.

cos θ===.

答案　三、解答题

.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足=(++).

(1)判断、、三个向量是否共面;

(2)判断点M是否在平面ABC内.

解　(1)由已知++=3 ，

-=(-)+(-)，

即=+=--，

，，共面.

(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，

四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内.

.把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：

(1)EF的长;

(2)折起后EOF的大小.

如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O-xyz，则A(0，-a,0)，B(a,0,0)，C0，a,0)，D0,0，a)，E0，-a，a)，F(a，a,0).

(1)||2=2+2+2=a2，|EF|=a.

(2)=，=，

·=0×a+×+a×0=-，

||=，||=，cos〈，〉==-，

EOF=120°.

.如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GMGA=13.求证：B、G、N三点共线.

证明　设=a，=b，=c，则

=+=+

=-a+(a+b+c)=-a+b+c，

=+=+(+)

=-a+b+c=.

∥，即B、G、N三点共线.

.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：

(1)·;(2)·;(3)EG的长;

(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.

解　设=a，=b，=c.

则|a|=|b|=|c|=1，〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60°，

(1)==c-a，=-a，=b-c，

·=·(-a)=a2-a·c=，

(2)·=(c-a)·(b-c)

=(b·c-a·b-c2+a·c)=-;

(3)=++=a+b-a+c-b

=-a+b+c，

||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a=，则||=.

(4)=b+c，=+=-b+a，

cos〈，〉==-，

由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.

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