三、解答题

11.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(an-1)，数列{bn}满足bn=bn-1-(n≥2)，且b1=3.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;

(2)设数列{cn}满足cn=an·log2(bn+1)，其前n项和为Tn，求Tn.

解析：(1)对于数列{an}有Sn=(an-1)，

Sn-1=(an-1-1)(n≥2)，

由-，得an=(an-an-1)，即an=3an-1，

当n=1时，S1=(a1-1)=a1，解得a1=3，

则an=a1·qn-1=3·3n-1=3n.

对于数列{bn}，有bn=bn-1-(n≥2)，

可得bn+1=bn-1+，即=.

bn+1=(b1+1)n-1=4n-1=42-n，

即bn=42-n-1.

(2)由(1)可知

cn=an·log2(bn+1)=3n·log2 42-n

=3n·log2 24-2n=3n(4-2n).

Tn=2·31+0·32+(-2)·33+…+(4-2n)·3n，

3Tn=2·32+0·33+…+(6-2n)·3n+(4-2n)·3n+1，

由-，得

-2Tn=2·3+(-2)·32+(-2)·33+…+(-2)·3n-(4-2n)·3n+1

=6+(-2)(32+33+…+3n)-(4-2n)·3n+1，

则Tn=-3++(2-n)·3n+1

=-+·3n+1.

12.已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4=-，且对于任意的nN+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)已知bn=n(nN+)，记Tn=+++…+，若(n-1)2≤m(Tn-n-1)对于n≥2恒成立，求实数m的范围.

解析：(1)设公比为q，

S1，S3，S2成等差数列，

2S3=S1+S2，

2a1(1+q+q2)=a1(2+q)，得q=-，

又a1+a4=a1(1+q3)=-，

a1=-， an=a1qn-1=n.

(2)∵ bn=n，an=n，

=n·2n，

Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n，

2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1，

①-，得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1，

Tn=-=(n-1)·2n+1+2.

若(n-1)2≤m(Tn-n-1)对于n≥2恒成立，

则(n-1)2≤m[(n-1)·2n+1+2-n-1]，

(n-1)2≤m(n-1)·(2n+1-1)，

m≥.

令f(n)=，f(n+1)-f(n)=-=<0，

f(n)为减函数，

f(n)≤f(2)=.

m≥.即m的取值范围是.

13.数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn;数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=nλ·bn+1(λ为常数，且λ≠1).

(1)求数列{an}的通项公式及λ的值;

(2)比较+++…+与Sn的大小.

解析：(1)由题意得(1-a2)2=a1(a3+1)，

即2=a1，

解得a1=， an=n.

又即

解得或(舍).λ=.

(2)由(1)知Sn=1-n，

Sn=-n+1≥，

又Tn=4n2+4n，

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