向量(矢量)这个术语作为现代数学-物理学中的一个重要概念，下面的是高考数学一轮复习平面向量应用举例专题测试，请考生及时练习。

一、填空题

1.(2013·课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·=________.

[解析]　如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，

∴=(1,2)，=(-2,2)，

·=1×(-2)+2×2=2.

[答案]　2

2.已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(m，m+1)，若，则实数m的值为________.

[解析]　依题意得，=(3,1)，

由，

得3(m+1)-m=0，m=-.

[答案]　-

3.(2014·徐州调研)已知a=(1,2)，2a-b=(3,1)，则a·b=________.

[解析]　a=(1,2)，2a-b=(3,1)，

b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).

a·b=(1,2)·(-1,3)=-1+2×3=5.

[答案]　5

4.(2013·常州市高三教学期末调研测试)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴正半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则·的最大值为________.

[解析]　根据题意得：M(2,0)，N(0,2).设P(2cos θ，2sin θ)，

则=(2-2cos θ，-2sin θ)，=(-2cos θ，2-2sin θ)，

所以·=-4cos θ+4cos2θ-4sin θ+4sin2θ

=4-4(sin θ+cos θ)=4-4sin，

因为-1≤sin≤1，所以4-4≤·≤4+4，

所以·的最大值为4+4.

[答案]　4+4

5.(2014·宿迁调研)已知点A(-2,0)，B(0,0)，动点P(x，y)满足·=x2，则点P的轨迹方程是________.

[解析]　=(-2-x，-y)，=(-x，-y)，则

·=(-2-x)(-x)+(-y)2=x2，

y2=-2x.

[答案]　y2=-2x

6.(2014·常州质检)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|-|，其中O为原点，则正实数a的值为________.

[解析]　由|+|=|-|，知，

|AB|=2，则得点O到AB的距离d=，

=，

解得a=2(a>0).

[答案]　2

7.(2014·南京、盐城二模)已知||=1，||=2，AOB=，=+，则与的夹角大小为________.

[解析]　令=，=，因为||=1，||=2，所以||=||，由=+=+，得四边形OA1CB1为菱形.因为菱形对角线平分所对角，因此AOC=60°.

[答案]　60°

8.如图4­4­3，在ABC中，AB=AC，BC=2，=，=.若·=-，则·=________.

图4­4­3

[解析]　建立如图所示的直角坐标系，则·=·(1，-a)=-=-，解得a=2，所以=，=(-1，-2)，所以·=-.

[答案]　-

二、解答题

9.(2014·苏北四市质检)已知向量a=(cos θ，sin θ)，b=(2，-1).

(1)若a⊥b，求的值;

(2)若|a-b|=2，θ，求sin的值.

[解]　(1)由a⊥b可知，a·b=2cos θ-sin θ=0，所以sin θ=2cos θ，

所以==.

(2)由a-b=(cos θ-2，sin θ+1)，可得|a-b|===2，

即1-2cos θ+sin θ=0，

又cos2θ+sin2θ=1，且θ，

由可解得

所以sin=(sin θ+cos θ)

==.

10.已知向量a=(cos x，sin x)，b=(sin 2x,1-cos 2x)，c=(0,1)，x(0，π).

(1)向量a，b是否共线?并说明理由;

(2)求函数f(x)=|b|-(a+b)·c的最大值.

[解]　(1)b=(sin 2x,1-cos 2x)=(2sin xcos x,2sin2 x)

=2sin x(cos x，sin x)=2sin x·a，且|a|=1，即a≠0.

a与b共线.

(2)f(x)=|b|-(a+b)·c

=2sin x-(cos x+sin 2x,1-cos 2x+sin x)·(0,1)

=2sin x-1+cos 2x-sin x=sin x-1+1-2sin2x

=-2sin2x+sin x=-22+.

当sin x=时，f(x)有最大值.

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