10. 设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)=f的所有x之和为________.

解析 f(x)是偶函数，f(2x)=f，

f(|2x|)=f，

又f(x)在(0，+∞)上为单调函数，

|2x|=，

即2x=或2x=-，

整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，

设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.

则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.

-8三、解答题

.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).

(1)求f(1)，f(-1)的值;

(2)判断函数f(x)的奇偶性.

解　(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.

(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数.

.已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)=-2.

(1)求证f(x)是奇函数;

(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

(1)证明　令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，

则f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数.

(2)解　任取x10，所以f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0，所以f(x)为减函数.而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6，f(-3)=-f(3)=6.

所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.

已知函数f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0,1]时，f(x)=2x-1，

(1)求证：f(x)是周期函数;

(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;

(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值.

(1)证明　函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.

(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，

又f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].

(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，

f(3)=f(-1)=-f(1)=-1

又f(x)是以4为周期的周期函数.

f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)

=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1.

.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).

(1)求证：f(x)是周期函数;

(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的个数.

(1)证明　f(x+2)=-f(x)，

f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，

f(x)是以4为周期的周期函数.

(2)解　当0≤x≤1时，f(x)=x，

设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，

f(-x)=(-x)=-x.

f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，

-f(x)=-x，即f(x)=x.

故f(x)=x(-1≤x≤1).

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