二、填空题

13.若∫oaxdx=1，则实数a的值是 .

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14.设x，y满足

2x+y≥4 x−y≥1 x−2y≤2 ，则z=x+y-3的最小值为 .

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15.已知正四棱锥的底边和侧棱长均为3

2 ，则该正四棱锥的外接球的表面积为 .

★☆☆☆☆显示解析

16.设N=2n(n∈N*，n≥2)，将N个数x1，x2，…，xN依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 N 2 和后 N 2 个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段 N 2 个数，并对每段作C变换，得到P2，当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段 N 2i 个数，并对每段作C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.

(1)当N=16时，x7位于P2中的第 个位置;

(2)当N=2n(n≥8)时，x173位于P4中的第 个位置.

★☆☆☆☆显示解析

三、解答题

17.已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为 a、b、c，向量

m =(cos C 2 ，sin C 2 )，

n =(cos C 2 ，-sin C 2 )，且

m 与

n 的夹角为 π 3 .

(Ⅰ)求角C的值;

(Ⅱ)已知c=3，△ABC的面积S= 4

3 3 ，求a+b的值.

★☆☆☆☆显示解析

18.某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

(1)指出这组数据的众数和中位数;

(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率;

(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望.

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19.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点.

(1)求证：AF∥平面PEC;

(2)求二面角P-EC-D的大小.

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20.已知椭圆C1： x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为

3 3 ，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.

(1)求椭圆C1的方程;

(2)设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程;

(3)设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足

QR •

RS =0，求|

QS |的取值范围.

★★★★★显示解析

21.若f(x)=

x2−a(lnx−1)，0

(1)当a=-2时，求函数y(x)在区间[e，e2]上的最大值;

(2)当a>0，时，若x∈[1，+∞)，f(x)≥ 3 2 a恒成立，求a的取值范围.

★★☆☆☆显示解析

22.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，

(1)求证：BE=2AD;

(2)求函数AC=1，BC=2时，求AD的长.

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23.在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为

x=sinθ+cosθ y=sin2θ (θ为参数)若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin(θ+ π 4 )=

2 2 t(其中t为常数).

(1)若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围;

(2)当t=-2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离.

★★☆☆☆显示解析

24.已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|;

(Ⅰ)求不等式f(x)≥3的解集;

(Ⅱ)若关于x的不等式在f(x)≥a2-a上恒成立，求实数a的取值范围.

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