已知椭圆 过点 ，且长轴长等于4.

(I)求椭圆C的方程;

(II) 是椭圆C的两个焦点， O是以 为直径的圆，直线 O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若 ，求k的值.

21.(本小题满分14分)

已知函数 的切线方程为 .

(I)求函数 的解析式;

(II)设 ，求证： 上恒成立;

(III)已知 .

2012级高三一模数学(理)参考答案及评分标准

(Ⅱ)∵b=2 ，∴由 可知， ，

即 ，∴ ，……………………8分

∵ ，∴ ………………10分

∴ .

∴△ ABC面积的最大值为 .…………………………12分

17、(Ⅰ)当 时，有 //平面AMD.

证明：∵MD 平面ABCD，NB 平面ABCD，∴MD//NB，…………2分

∴ ，又 ，∴ ，…………4分

∴在 中，OP//AM，

又 面AMD，AM 面AMD，∴ // 面AMD.…………6分

(Ⅱ)解：以DA、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,0,2)N(2,2,1)，∴ =(0,-2,2)， =(2,0,1)， =(0,2,0)，………………7分

设平面CMN的法向量为 =( x,y,z)则 ，∴ ，

∴ =(1,-2,-2).………………9分

又NB 平面ABCD，∴NB DC，BC DC，∴DC 平面BNC，∴平面BNC的法向量为 = =(0,2,0)，………………11分

设所求锐二面角为 ，则 .………………12分

∴ ……………………12分

19、解：(Ⅰ)∵ 时， ，……………①

当 时， ，………………②………………2分

由①-②得，

即 ，∵ 　　∴ ，………………4分

由已知得，当 时， ，∴ .………………5分

故数列 是首项为1，公差为1的等差数列.∴ . …………6分

(Ⅱ)∵ ，∴ ,…………7分

∴  .

要使得 恒成立,只须 . …………8分

(1)当 为奇数时,即 恒成立.又 的最小值为 ,∴ . ……9分

(2)当 为偶数时,即 恒成立.又 的最大值为 ,∴ …10分

∴由(1),(2)得 ,又 且 为整数,……………………11分

∴ 对所 有的 ,都有 成立.     ………………12分

…………10分

∴ ………………11分

∵ ，∴ .………………12分

∵ ，∴ ， ，得k的值为 .…………13分

20、解：(Ⅰ)将 代入切线方程得 ， ∴ ，…………2分

化简得 .  ，……………4分 ，

解得： .∴ . …………6分

(Ⅱ)由已知得 在 上恒成立，

化简 ，即 在 上恒成立.…………7分

设 ， ，  …………8分

∵    ∴ ，即 ，…………9分

∴ 在 上单调递增， ，∴ 在 上恒成立 .…………10分

(Ⅲ)∵ ，   ∴ ，由(Ⅱ)知有 ， ……12分

整理得 ，∴当 时， . …………14分

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