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(一)数形结合，借尸还魂

【题1】(2009.辽宁卷12题)若 满足2x+ =5,  满足2x+2 (x-1)=5,  + =(        )

(A)                (B)3                  (C)                (D)4

【分析】本题有“数”无“形”，仅靠枯燥的数字分析或推理，试图分别求出x1与x2，再求它们的和是不可能的..唯一的出路是“借尸还魂”，到图中去寻找答案.

【解析】.将条件式改写为 及 .

令  .

如图，曲线 关于直线 对称.设直线 分别与曲线

及直线 交于 ，则点A,B亦关于

点M对称..由 ，故选C.

(二)调虎离山 命题转换

【题2】(2010.四月.湖北孝感理科.14题)在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染1，再染2个偶数2、4;再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9;再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16;再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，….则在这个红色子数列中，由1开始的第2010个数是

【分析】按题示规则,对全体正整数操作如下：

○1○23○4○56○78○9○1011○1213○1415○16○1718○1920○2122○2324○25○2627○2829○3031○3233○3435○36○3738…

如果仅就现在的排列方法,很难找出规律.于是想到:何不将那些“染红”了的数调出来,用适当的方式重新排列呢?

【解析】在以上各数中，我们将所有打了圈的数称为“合格数”，

并将所有“合格数”按奇,偶相间的原则列成三角形数表如图2：立即

发现其排列规律是：

1.第n行的最后1个数字是 ;

2.前n行共有 个“合格数”数.

题目已经暗示：2010一定是“合格数”,设2010位于这张表的

第n行,那么： ,即

∵ ,故满足(1)式的

最大值是63. 当n=63时,最后1个数是第 个,其值为 ,这是个奇数.

据此,这一行应全为奇数.由此倒推6数,则第2010个“合格数”是3969-2×6=3957.

(三)抽丝剥茧,水落石出

【题3】(2010四月.湖北黄冈等6市.10题)已知数列 满足：

且 ,则图3中第5行所有数的和是(        )

A.62       B.64       C.32         D.34

【分析】求和的前提条件是找出这个递推数列的通项公式.可是由

递推关系找到求通项的规律,不是轻而易举的事,需要作逐步精密的探究.

如果不作,这道题很难.

【解析】第一步：递推关系式的右式,分子的次数高于分母的次数,

且分子为单项式,分母为多项式,不便于推理运算,因此考虑岸边取倒数.

由

第二步,由以上结果及 ,知 是首项 且公差d=1的等差数列.这个“过渡数列”的通项公式是： .

第三步,我们发现 虽然不是等比数列,但其比值是一个简单的一次式.这种情况适合“叠乘法”求通项：

已知 ∴这个数列的通项公式为 (n=1也适合)

于是“水落石出”,图5中第5行所有数的和是：

故选A.

(四)瞒天过海 暗云飞渡

【题4】(武汉二月调考.15题)已知双曲线 的左顶点为A，右焦点为F,设P为第一象限内曲线上的任意一点，若∠PFA=λ∠FAP,则λ的值为

【分析】无论是选择题,还是填空题,都是无需讲道理的.既如此,解题人就可以省去一切繁文缛节,“不择手段”地去找出正确的答案.显然,本题的答案与非零实数a的取值范围无关,我们就可以挑选一个最便于计算的特殊位置解之.

【解析】如图4，取图形的特殊位置,使PF⊥AF.

由条件知有A(-a,0),F(2a,0).在双曲线方程中令x=2a,有：

.得P(2a,3a).

在直角三角形AFP中， ∴∠PAF=45°，而

∠PFA=90°=2∠PAF.∴λ=2.