题型一 含有逻辑联结词的命题的真假

例1 已知命题p1：函数y=2x-2x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2x在R上为

-

-

减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是

( )

A.q1，q3 C.q1，q4

B.q2，q3 D.q2，q4

思维启迪：先判断命题p1、p2的真假，然后对含逻辑联结词的命题根据真值表判断真假.

答案 C

解析 命题p1是真命题，p2是假命题，故q1为真，q2为假，q3为假，q4为真. 探究提高 (1)判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”含义的理解.

(2)解决该类问题的基本步骤：①弄清构成复合命题中简单命题p和q的真假;②明确其构成形式;③根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假.

写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复合命

题，并判断真假：

(1)p：1是素数;q：1是方程x2+2x-3=0的根;

(2)p：平行四边形的对角线相等;q：平行四边形的对角线互相垂直;

(3)p：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同;q：方程x2+x-1=0的两实根的绝对值相等.

解 (1)p∨q：1是素数或是方程x2+2x-3=0的根.真命题. p∧q：1既是素数又是方程x2+2x-3=0的根.假命题. 綈p：1不是素数.真命题.

(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题. p∧q：平行四边形的对角相等且互相垂直.假命题. 綈p：有些平行四边形的对角线不相等.真命题.

(3)p∨q：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同或绝对值相等.假命题. p∧q：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同且绝对值相等.假命题. 綈p：方程x2+x-1=0的两实根的符号不相同.真命题. 题型二 含有一个量词的命题的否定

例2 写出下列命题的否定，并判断其真假： 1

(1)p：?x∈R，x2-x0;

4(2)q：所有的正方形都是矩形; (3)r：?x∈R，x2+2x+2≤0; (4)s：至少有一个实数x使x3+1=0.

思维启迪：否定量词，否定结论，写出命题的否定;判断命题的真假. 1

解 (1)綈p：?x∈R，x2-x<0，假命题.

4(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题. (3)綈r：?x∈R，x2+2x+2>0，真命题.

(4)綈s：?x∈R，x3+1≠0，假命题.

探究提高 全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词;二是要否定结论.而一般命题的否定只需直接否定结论即可.

(1)已知命题p：?x∈R，sin x≤1，则

A.綈p：?x∈R，sin x≥1 B.綈p：?x∈R，sin x≥1 C.綈p：?x∈R，sin x>1 D.綈p：?x∈R，sin x>1

(2)命题p：?x∈R,2x+x2≤1的否定綈p为__________________________________. 答案 (1)C (2)?x∈R,2x+x2>1 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用

例3 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根;q：不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围. 思维启迪：判断含有逻辑联结词的命题的真假，关键是判断对应p，q的真假，然后 判断“p∧q”，“p∨q”，“綈p”的真假.

2

??Δ=m-4>0，

解 p为真命题???m>2;

?-m<0?

( )

q为真命题?Δ=[4(m-2)]2-4×4×1<0?1

由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假.

??m>2，

当p真，q假时，由??m≥3;

?m≤1或m≥3???m≤2，

当p假，q真时，由??1

?1

综上，知实数m的取值范围是(1,2]∪[3，+∞).

探究提高 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.

已知a>0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增;命题q：不等式ax2

-ax+1>0对?x∈R恒成立.若“p且q”为假，“p或q”为真，求a的取值范围. 解 ∵函数y=ax在R上单调递增，∴p：a>1. 不等式ax2-ax+1>0对?x∈R恒成立，且a>0，包含各类专业文献、高等教育、专业论文、各类资格考试、应用写作文书、行业资料、文学作品欣赏、中学教育、第一章 命题与量词、基本逻辑联结词等内容。

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