(18)(本小题满分12分)

在如图所示的几何体中，四边形AB CD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。

(Ⅰ)求证：BD⊥平面AED;

(Ⅱ)求二面角F-BD-C的余弦值。

解析：(Ⅰ)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD,

由余弦定理可知 ,

即 ,在 中，∠DAB=60°， ，则 为直角三角形，且 。又AE⊥BD， 平面AED， 平面AED，且 ，故BD⊥平面AED;

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ，设 ，则 ,建立如图所示的空间直角坐标系， ，向量 为平面 的一个法向量.

设向量 为平面  的法向量，则 ,即 ，

取 ，则 ，则 为平面 的一个法向量.

，而二面角F-BD-C的平面角为锐角，则

二面角F-BD-C的余弦值为 。

(19)(本小题满分12分)

现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，命中得1分，没有命中得0分;向乙靶射击两次，每次命中的概率为 ,每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。

(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;

(Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX

解析：(Ⅰ) ;

(Ⅱ)

E X=0× +1× +2× +3× +4× +5× = .

(20)(本小题满分12分)

在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)对任意m∈N﹡，将数列{an}中落入区间(9m，92m)内的项的个数记为b m，求数列{bm}的前m项和Sm。

解析：(Ⅰ)由a3 +a4+a5=84，a5=73可得 而a9=73，则 ， ，于是 ，即 .

(Ⅱ)对任意m∈N﹡， ，则 ，

即 ，而 ，由题意可知 ，

于是

，

即 .

(21)(本小题满分13分 )

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为 。

(Ⅰ)求抛物线C的方程;

(Ⅱ)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在，求出点M的坐标;若不存在，说明理由;

(Ⅲ)若点M的横坐标为 ，直线l：y=kx+ 与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当 ≤k≤2时， 的最小值。

解析：(Ⅰ)F抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点F ，设M ， ，由题意可知 ，则点Q到抛物线C的准线的距离为  ，解得 ，于是抛物线 C的方程为 .

(Ⅱ)假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，

而 ， ， ，

， ，

由 可得 ， ，则 ，

即 ，解得 ，点M的坐标为 .

(Ⅲ)若点M的横坐标为 ，则点M ， 。

由 可得 ，设 ，

圆 ，

，

于是 ，令

，

设 ， ，

当 时， ，

即当 时 .

故当 时， .

22(本小题满分13分)

已知函数f(x) =  (k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数)，曲线y= f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行。

(Ⅰ)求k的值;

(Ⅱ)求f(x)的单调区间;

(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)  ,其中 为f(x)的导函数，证明：对任意x>0， 。

解析：由f(x) =  可得  ，而 ，即 ，解得 ;

(Ⅱ)  ，令 可得 ，

当 时， ;当 时， 。

于是 在区间 内为增函数;在 内为减函数。

简证(Ⅲ) ，

当 时，  ， .

当 时，要证 。

只需证 ，然后构造函数即可证明。

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