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2011年高三年级十三校第二次联考-数学(理科)

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2011-04-18

21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设，，定义一种向量运算：，已知，
，点在函数的图象上运动，点在函数的图象上运动，且满足（其中为坐标原点）。
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，且的定义域为，值域为，求 的值。
21．（1）设，，则由得。……………（2分）
        即，消去，得，即。……（6分）
（2），（9分）
       因为，所以，所以。………………………（10分）
       当时，，解得。当时，，解得。………（14分）
 
22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
将数列中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

 
 
记表中的第一列数构成的数列为，已知：

 

①在数列中，，对于任何，都有；
②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为的等比数列；
③。请解答以下问题：
（1）求数列的通项公式；（2）求上表中第行所有项的和；
（3）若关于的不等式在上有解，求正整数的取值范围。
22．（1）由，得数列为常数列。故，所以。………………（4分）
   （2）∵，∴表中第一行至第九行共含有的前63项，在表中第十行第三列。（7分）
        故，而，∴。………………………………………………………………（9分）
        故。…………………………………………………………………（10分）
   （3）在上单调递减，故的最小值是。（11分）
        若关于的不等式在上有解，
        设，则必须。……………………………………………（12分）
        （或），
，函数当且时单调递增。…………………………………………（14分）
而，，所以的取值范围是大于7的一切正整数。…………………………（16分）
23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）
在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆的左、右顶点分别为，椭圆的右焦点为，过作一条垂直于轴的直线与椭圆相交于，若线段的长为。
（1）求椭圆的方程；
（2）设是直线上的点，直线与椭圆分别交于点，求证：直线
必过轴上的一定点，并求出此定点的坐标；
（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线写出一个更一般的结论，并加以证明。
23．（1）依题意，椭圆过点，故，解得。………………………………………（3分）
        椭圆的方程为。……………………………………………………………………………（4分）
   （2）
设，直线的方程为，……………（5分）
        代入椭圆方程，得，……（6分）
设，则，…（7分）
，故点的坐标为。………（8分）
同理，直线的方程为，代入椭圆方程，得，
设，则，。
可得点的坐标为。…………………………………………………………（10分）
①若时，直线的方程为，与轴交于点；
②若，直线的方程为，
 令，解得。综上所述，直线必过轴上的定点。…………………………（12分）
   （3）结论：已知抛物线的顶点为，为直线上一动点，过点作轴的平行线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，则直线必过定点。………（14分）
        证明：设，则，
        直线的方程为，代入，得，可求得。…（16分）
        直线的方程为，
        令，得，即直线必过定点。……（18分）
 
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