参考数据：

P(K2≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

解　(1)

更爱好体育 更爱好文娱 合计 男生 15 10 25 女生 5 10 15 合计 20 20 40 (3分)

(2)恰好是一男一女的概率是：=.(6分)

(3)K2==

=≈2.666 7…<2.706，(9分)

∴我们没有足够的把握认为性别与是否更喜欢体育有关系.(12分)

(19)(本小题满分12分)

如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且.

(1)求证：平面 ;

(2)求直线与平面所成角的弦值.解答：(1)证明：∵底面，且底面， ∴ ………1分

由，可得 ………………………2分

又 ，∴平面 ………………3分

注意到平面， ∴ …………………4分

,为中点，∴ ………………5分

， 平面 …………………………6分(2)如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系.

则 …………………………7分

. ………………8分

设平面的法向量.

由得，

即……………(1)

……………(2)

取，则，. …10分

，

直线与平面所成角的弦值. ………12分

的离心率为，其下焦点到点的距离为.不过原点O的直线与椭圆相交于A，B两点，且线段AB被直线平分.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)求面积取最大值时直线的方程.

(21)(本小题满分12分)

已知函数1)求曲线在处的切线方程2)证明：解：(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，

………2分

由题意可得f(1)=2，f′(1)=e，故曲线在处的切线方程; ………4分

(2)证明：由(1)知，f(x)=exln x+ex-1，

从而f(x)>1等价于xln x>xe-x-.………6分

设函数g(x)=xln x，

则g′(x)=1+ln x，

所以当x∈时，g′(x)<0;

当x∈时，g′(x)>0.

故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，+∞)上的最小值为g=-.………8分

设函数h(x)=xe-x-，则h′(x)=e-x(1-x).

所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0;

当x∈(1，+∞)时，h′(x)<0.

故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，从而h(x)在(0，+∞)上的最大值为h(1)=-.………10分

因为gmin(x)=g=h(1)=hmax(x)，

所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1. ………12分

请考生在第(22)，(23)二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

过点P作倾斜角为α的直线与曲线+=1交于点M求的最小值及相应的α值.解：设直线方程为(t为参数)将其代入x+2y=1并整理得(1+2α)t2+tcosα+=0则==又直线与曲线相交Δ=10α-4·(1+2α)≥0，得α≤.当α=(0≤α<π)即α=或α=时·有最小值已知函数f(x)=|x-a|其中>1.(1)当a=2时求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}求a的值.解：(1)当a=2时(x)+|x-4|=当x≤2时由-2x+6≥4解得x≤1;当2

又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2} 解得a=3.

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