参考答案：

1.C　解析:|PM|-|PN|=3<4,

∴由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支.

又|PM|>|PN|,∴点P的轨迹为双曲线的右支.

2.C　解析:双曲线的标准方程为x2-=1,a2=1,b2=.

∴c2=a2+b2=.

∴c=,故右焦点坐标为.

3.C　解析:e=2,∴=2.

设焦点F2(c,0)到渐近线y=x的距离为,

渐近线方程为bx-ay=0,

.

∵c2=a2+b2,∴b=.

由=2,得=2,

=4,

解得c=2.焦距2c=4,故选C.

4.A　解析:如图所示,在RtOPF中,OMPF,且M为PF的中点,

则POF为等腰直角三角形.

所以OMF也是等腰直角三角形.

所以有|OF|=|OM|,即c=a.

故e=.

5.A　解析:由=0,可知.

可设||=t1,||=t2,

则t1t2=2.

在MF1F2中,=40,

则|t1-t2|=

==6=2a.

解得a=3.故所求双曲线方程为-y2=1.

6.A　解析:双曲线的离心率为2,=2,

∴a∶b∶c=1∶∶2.

又

∴|AF1|=4a,|AF2|=2a,

∴|F1F2|=2c=4a,

∴cos∠AF2F1

=

=,

选A.

7.4　解析:由题意点M的坐标可求得为M(3,±),双曲线的右焦点的坐标为F2(4,0).

由两点间的距离公式得|F2M|==4.

8.　解析:如图所示,设双曲线方程为=1,取其上一点P(m,n),

则Q(m,-n),由=0可得(a-m,-n)·(m+a,-n)=0,

化简得a2-m2+n2=0.

又=1可得b=a,

故双曲线的离心率为e=.

9.(1)解:因为e=,

所以可设双曲线方程为x2-y2=λ.

因为双曲线过点(4,-),

所以16-10=λ,即λ=6.

所以双曲线方程为=1.

(2)证明:由(1)可知,在双曲线中a=b=,所以c=2.

所以F1(-2,0),F2(2,0).

所以=(-2-3,-m),

=(2-3,-m),

则=9-12+m2=m2-3.

因为点(3,m)在双曲线上,

所以9-m2=6,即m2=3.

所以=m2-3=0.

(3)解:由 (2)知F1MF2的高h=|m|=,由F1MF2的底边|F1F2|=4,

则=6.

10.解:(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.

又焦距2c=4,所以虚半轴长b=.

所以W的方程为=1(x≥). (2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

当ABx轴时,x1=x2,y1=-y2,

从而=x1x2+y1y2==2.

当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,

则x1+x2=,x1x2=,

所以=x1x2+y1y2

=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

=+m2

==2+.

又因为x1x2>0,所以k2-1>0.

所以>2.

综上所述,当ABx轴时,取得最小值2.

11.C　解析:设等轴双曲线方程为x2-y2=m(m>0),

因为抛物线的准线为x=-4,

且|AB|=4,所以|yA|=2.

把坐标(-4,2)代入双曲线方程得m=x2-y2=16-12=4,

所以双曲线方程为x2-y2=4,

即=1.

所以a2=4,所以实轴长2a=4.

12.B　解析:设PF1F2内切圆半径为r,根据已知可得×|PF1|×r=×|PF2|×r+×2c×r,

整理可得|PF1|=|PF2|+2λc.

由双曲线的定义可得

|PF1|-|PF2|=2a,

则2λc=2a,故λ=.

13.B　解析:由a2+1=4,得a=,

则双曲线方程为-y2=1.

设点P(x0,y0),则=1,

即-1.

=x0(x0+2)+

=+2x0+-1

=,

x0≥,∴当x0=时,取最小值3+2.故的取值范围是[3+2,+∞).

14.　解析:双曲线=1的两条渐近线方程分别是y=x和y=-x.

由

解得A,

由

解得B.

设AB中点为E,

则E.

由于|PA|=|PB|,所以PE与直线x-3y+m=0垂直,

而kPE=,

于是=-1.

所以a2=4b2=4(c2-a2).

所以4c2=5a2,解得e=.

15.解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.

因为点P在双曲线x2-=1上,所以=1.故=3.

由椭圆的定义知2a2

==2.

于是a2==2.

故C1,C2的方程分别为x2-=1,=1.

(2)不存在符合题设条件的直线.

若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.

当x=时,易知A(),B(,-),

所以||=2,||=2.

此时,||≠||.

当x=-时,

同理可知,||≠||.

若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.

由

得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.

当l与C1相交于A,B两点时,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1,x2是上述方程的两个实根,

从而x1+x2=,x1x2=.

于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.

由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.

因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.

化简,得2k2=m2-3,

因此=x1x2+y1y2=≠0,

于是+2-2,

即||≠||,

故||≠||.

综合,②可知,不存在符合题设条件的直线.

16.解法一:(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,

所以=2,所以=2,

故c=a,

从而双曲线E的离心率e=.

(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.

设直线l与x轴相交于点C.

当lx轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,

则|OC|=a,|AB|=4a,

又因为OAB的面积为8,

所以|OC|·|AB|=8,

因此a·4a=8,解得a=2,

此时双曲线E的方程为=1.

若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为=1.

以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:=1也满足条件.

设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C.

记A(x1,y1),B(x2,y2).

由得y1=,

同理得y2=,

由SOAB=|OC|·|y1-y2|得,

=8,

即m2=4|4-k2|=4(k2-4).

由得,

(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.

因为4-k2<0,

Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又m2=4(k2-4),

所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.

因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.

解法二:(1)同解法一.

(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.

设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).

依题意得-2或k<-2.

由得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,

因为4-k2<0,Δ>0,

所以x1x2=,

又因为OAB的面积为8,

所以|OA|·|OB|·sinAOB=8,

由已知sinAOB=,

所以=8,化简得x1x2=4.

所以=4,即m2=4(k2-4).

由(1)得双曲线E的方程为=1,由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,

因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,

即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,

所以双曲线E的方程为=1.

当lx轴时,由OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:=1有且只有一个公共点.

综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.

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