20、 (本小题共13分)

已知数列 ， ， ， ， ( ).

⑴求 ， ;

⑵是否存在正整数 ，使得对任意的 ，有 ;

⑶设 ，问 是否为有理数，说明理由.

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习(二)

数学参考答案(理科)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

(1)B        (2)C         (3)A         (4)D

(5)D        (6)B        (7)D         (8)C

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

(9)             (10)           (11)

(12)          (13)          (14)①③

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分.

三、解答题(本大题共6小题，共80分)

(15)(共13分)

解：(Ⅰ)因为

.

所以 的最小正周期 .

(Ⅱ) 因为 ，

所以 .

所以 的取值范围是 .           ………………………………13分

(16)(共13分)

解：(Ⅰ)设该年级共 人，由题意得 ，所以 .

则 .

(Ⅱ)依题意， 所有取值为 .

，

，

.

的分布列为：

.          ………………………………………13分

(17)(共14分)

(Ⅰ)证明：因为

所以 ，

又因为 ，且 ，

所以  平面 ，

因为 平面 ，

所以  .

(Ⅱ)因为△ 是等边三角形，

， ，

不防设 ，则  ，

又因为 ， 分别为 ， 的中点，

由此以 为原点， ， ， 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 .

则有 ， ， ， ， ， .

所以 ， .

设平面 的法向量为 .

则

即

令 ，则 .

所以 .

又平面 的一个法向量为 .

所以  .

所以二面角 的余弦值为 .     ………………………………14分

(18)(共14分)

解:(Ⅰ)  ，定义域为 ，

则 .

因为 ，由 得 ， 由 得 ，

所以 的单调递增区间为  ，单调递减区间为 .

(Ⅱ)由题意，以 为切点的切线的斜率 满足

，

所以 对 恒成立.

又当 时，  ，

所以 的最小值为 .

(Ⅲ)由题意，方程 化简得

+

令 ，则 .

当 时，  ，

当 时，  ，

所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.

所以 在 处取得极大值即最大值，最大值为 .

所以  当 ， 即 时，  的图象与 轴恰有两个交点，

方程 有两个实根，

当 时，   的图象与 轴恰有一个交点，

方程 有一个实根，

当 时，   的图象与 轴无交点，

方程 无实根.                         ……14分

(19)(共13分)

解: (Ⅰ)因为 ， ，

所以  .

因为原点到直线 ： 的距离 ，

解得 ， .

故所求椭圆 的方程为 .