16. 解：(I)由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有 人.

设事件 ：从 位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，

则 .

解得  .

所以 .               ……………………………………………………5分

(Ⅱ)由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有 位，分别记为

.其中 和 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生.

从中任意抽取 位，可表示为 ,

, , ，共 种可能.

设事件 ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生.

事件 包括 , , , ，共 种可能.所以 .

所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . ……………………………13分

17. 解：(Ⅰ)依题意, 因为四棱柱 中， 底面 ，

所以 底面 .

又 底面 ,

所以  .

因为 为菱形，

所以 .而 ，

所以 平面 . ………………4分

(Ⅱ)连接 ,交 于点 ，连接 .

依题意， ∥ ,

且 ， ,

所以 为矩形.

所以 ∥ .

又 , , ,

所以 = ，所以 为平行四边形，

则 ∥ .

又 平面 ， 平面 ,

所以 ∥平面 .                   ……………………………………………………………9分

(Ⅲ)在 内，满足  的点 的轨迹是线段 ，包括端点.

分析如下：连接 ，则 .

由于 ∥ ,故欲使  ，只需 ,从而需 .

又在 中， ,又 为 中点，所以   .

故 点一定在线段 上.

当 时， 取最小值.

在直角三角形 中， , , ,

所以 .        …………………………………………………………………14分

18.解：(I) ，则函数 在 处的切线的斜率为 .

又 ，

所以函数 在 处的切线方程为 ,即   ………………4分

(Ⅱ) ，  ，( ).

①当 时， ， 在区间 上单调递增;

②当 时，令 ，解得 ;令 ，解得 .

综上所述，当 时，函数 的增区间是 ;

当 时，函数 的增区间是 ，减区间是 . ………………9分

(Ⅲ)依题意，函数 没有零点，即 无解.

由(Ⅱ)知，当 时，函数 在区间 上为增函数,区间 上为减函数，

由于 ，只需 ，

解得 .

所以实数 的取值范围为 .  …………………………………………………13分

19. 解：(Ⅰ)由题意得 解得 ， .

所以椭圆 的方程是 .       ……………………………………4分

(Ⅱ)由 得 .

设 ，则有 ， ，

.

所以线段 的中点坐标为 ，

所以线段 的垂直平分线方程为 .

于是，线段 的垂直平分线与 轴的交点  ，又点 ，

所以 .

又  .

于是， .

因为 ，所以 .

所以 的取值范围为 .       ………………………………14分

20. 解：记 的 ， 公差为 ， 公比为 ，由 ，得

(Ⅰ) ， ， ， ，

当 时，显然 ;

当 时，由平均值不等式 ，当且仅当 时取等号，而 ，所以 即 .

综上所述， .           　………………………………………………………5分

(Ⅱ)(ⅰ)因为 ，所以 得 所以 或 .因为 ，所以 ， .

令 ，即 ， ， ，所以 是 中的一项.

(ⅱ)假设 ，则 ， ，

当 或 ，( )时， .

正整数 的集合是 .        …………………………13分

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