(Ⅱ)证明： 因为平面 平面 ，

，且平面 平面 ，

所以 平面 .

所以 ， .

又因为 为正方形，所以 ，

所以 两两垂直.

以点 为原点，分别以 为 轴，

建立空间直角坐标系(如图).

由题意易知 ，

设 ，则

， ， ， ， , , .

因为 ， ， ，

且 ，

所以 ， .

又因为 ， 相交于 ，所以 平面 .     …………… 9分

(Ⅲ)易得 ， .

设平面 的法向量为 ，则

所以  即

令 ，则 .

由(Ⅱ)可知平面 的法向量是 ，

所以  .

由图可知，二面角 的大小为锐角，

所以二面角 的余弦值为 .      ……………14分

18. (本小题满分13分)

解：函数 的定义域是 ，    .

(Ⅰ)(1)当 时， ，故函数 在 上单调递减.

(2)当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递减.

(3)当 时，令 ，又因为 ，解得 .

①当 时， ，所以函数 在 单调递减.

②当 时， ，所以函数 在 单调递增.

综上所述， 当 时，函数 的单调减区间是 ，

当 时，函数 的单调减区间是 ，单调增区间为 .…7分

(Ⅱ)(1)当 时，由(Ⅰ)可知， 在 上单调递减，

所以 的最小值为 ，解得 ，舍去.

(2)当 时，由(Ⅰ)可知，

①当 ，即 时，函数 在 上单调递增，

所以函数 的最小值为 ，解得 .

②当 ，即 时，函数 在 上单调递减，

在 上单调递增，所以函数 的最小值为 ，

解得 ，舍去.

③当 ，即 时，函数 在 上单调递减，

所以函数 的最小值为 ，得 ，舍去.

综上所述， .                                      ……………13分

19. (本小题满分14分)

解：(Ⅰ)由题意得 ，解 得 ， .

所以椭圆 的方程是 .                   …………… 4分

(Ⅱ)以线段 为直径的圆过 轴上的定点.

由 得 .

设 ，则有 ， .

又因为点 是椭圆 的右顶点，所以点 .

由题意可知直线 的方程为 ，故点 .

直线 的方程为 ，故点 .

若以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ，则等价于 恒成立.

又因为 ， ，

所以 恒成立.

，

所以 .

解得 .

故以线段 为直径的圆过 轴上的定点 .    …………… 14分

20. (本小题满分13分)

解：(Ⅰ)符合要求的递增等差数列为1，2，3;2，3，4;3，4，5;1，3，5，共4个.

所以 .                                      …………… 3分

(Ⅱ)设满足条件的一个等差数列首项为 ，公差为 ， .

， ， 的可能取值为 .

对于给定的 ， ， 当 分别取 时，可得递增等差数列 个(如： 时， ，当 分别取 时，可得递增等差数列91个： ; ; ; ，其它同理).

所以当 取 时，可得符合要求的等差数列的个数为：

.…………… 8分

(Ⅲ)设等差数列首项为 ，公差为 ，

， ，

记 的整数部分是 ，则 ，即 .

的可能取值为 ，

对于给定的 ， ，当 分别取 时，可得递增等差数列 个.

所以当 取 时，得符合要求的等差数列的个数

易证 .

又因为 ， ，

所以 .

所以

.

即 .                              …………… 13分

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