(17)(共14分)

(Ⅰ)证明：因为

所以 ，

又因为 ，且 ，

所以  平面 ，

因为 平面 ，

所以  .

(Ⅱ)因为△ 是等边三角形，

， ，

不防设 ，则  ，

又因为 ， 分别为 ， 的中点，

由此以 为原点， ， ， 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 .

则有 ， ， ， ， ， .

所以 ， .

设平面 的法向量为 .

则

即

令 ，则 .

所以 .

又平面 的一个法向量为 .

所以  .

所以二面角 的余弦值为 .     ………………………………14分

(18)(共14分)

解:(Ⅰ)  ，定义域为 ，

则 .

因为 ，由 得 ， 由 得 ，

所以 的单调递增区间为  ，单调递减区间为 .

(Ⅱ)由题意，以 为切点的切线的斜率 满足

，

所以 对 恒成立.

又当 时，  ，

所以 的最小值为 .

(Ⅲ)由题意，方程 化简得

+

令 ，则 .

当 时，  ，

当 时，  ，

所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.

所以 在 处取得极大值即最大值，最大值为 .

所以  当 ， 即 时，  的图象与 轴恰有两个交点，

方程 有两个实根，

当 时，   的图象与 轴恰有一个交点，

方程 有一个实根，

当 时，   的图象与 轴无交点，

方程 无实根.                         ……14分

(19)(共13分)

解: (Ⅰ)因为 ， ，

所以  .

因为原点到直线 ： 的距离 ，

解得 ， .

故所求椭圆 的方程为 .

(Ⅱ)因为点 关于直线 的对称点为 ，

所以

解得  ， .

所以 .

因为点 在椭圆 : 上，

所以 .

因为 ， 所以 .

所以 的取值范围为 .

(Ⅲ)由题意

消去  ，整理得

.

可知 .

设 ， ， 的中点是 ，

则 ， .

所以 .

所以 .

即  .

又因为 ，

所以 .所以 .                  ………………………………13分

(20)(共13分)

解：(Ⅰ) ;

.

(Ⅱ)假设存在正整数 ，使得对任意的 ，有 .

则存在无数个正整数 ，使得对任意的 ，有 .

设 为其中最小的正整数.

若 为奇数，设 ( )，

则 .

与已知 矛盾.

若 为偶数，设 ( )，

则 ，

而

从而 .

而 ，与 为其中最小的正整数矛盾.

综上，不存在正整数 ，使得对任意的 ，有 .

(Ⅲ)若 为有理数，即 为无限循环小数，

则存在正整数 ， ，对任意的 ，且 ，有 .

与(Ⅱ)同理，设 为其中最小的正整数.

若 为奇数，设 ( )，

当 时，有 .

与已知 矛盾.

若 为偶数，设 ( )，

当 时，有 ，

而

从而 .

而 ，与 为其中最小的正整数矛盾.

故 不是有理数.            ……………………………………………………13分

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