2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

文 科 数 学

第Ⅱ卷

注意事项：

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2. 本卷共12小题, 共110分.

二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.

(9) i是虚数单位. 复数(3 + i)(1-2i) =       .

(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 , 则正方体的棱长为       .

(11) 已知抛物线 的准线过双曲线 的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为      .

(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1,  , E为CD的中点. 若 , 则AB的长为      .

(13) 如图, 在圆内接梯形ABCD中, AB//DC, 过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E. 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD的长为      .

(14) 设a + b = 2, b>0, 则 的最小值为      .

三.解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

(15) (本小题满分13分)

某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:

产品编号 A1 A2 A3 A4 A5

质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)

产品编号 A6 A7 A8 A9 A10

质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;

(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取2件产品,

(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;

(⒉) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.

(16) (本小题满分13分)

在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知 , a = 3,  .

(Ⅰ) 求b的值;

(Ⅱ) 求 的值.

(17) (本小题满分13分)

如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.

(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;

(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;

(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.

(18) (本小题满分13分)

设椭圆 的左焦点为F, 离心率为 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左,右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若 , 求k的值.

(19) (本小题满分14分)

已知首项为 的等比数列 的前n项和为 , 且 成等差数列.

(Ⅰ) 求数列 的通项公式;

(Ⅱ) 证明 .

(20) (本小题满分14分)

设 , 已知函数

(Ⅰ) 证明 在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;

(Ⅱ) 设曲线 在点 处的切线相互平行, 且  证明 .

总结：2013天津市高考数学文科试卷就介绍到这里了，希望能帮助同学们更好的复习本门课程，更多精彩学习内容请继续关注威廉希尔app !

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