一、选择题.(共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合 ，则 ( )

A. B. C. D.

2.设复数 满足 是虚数单位)，则 ( )

A. 1 B.2 C.3 D. 4

3.命题“若 则 ”的否定是( )

A. B. C. D.

4.双曲线 上一点 到左焦点的距离为4 ，则点 到右准线的距离为( )

A. 1 B.2 C.3 D. 1或3

5 .一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下图，则余下部分的几何体的体积为(　　)

A. B. C. D.

6.根据上面的程序框图，若输出的结果 ，则图中横线上应填( )

A. 48 B.50 C. 52 D.54

7 .对于集合 ，若满足： 且 ，则称 为集合 的“孤立元素”，则集合 的无“孤立元素”的含4个元素的子集 个数共有( )

A. 28 B.36 C.49 D. 175

8.已知圆 的半径为1，四边形 为其内接正方形， 为圆 的一条直径， 为正方形 边界上一动点，则 的最小值为( )

A. B. C. D.

9.在 中，角 的对边分别为 ，若 则 ( )

A. B. C. D.

10.设 则 的最小值为( ).

A. B. 3 D.

二.填空题.(本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分)

11.某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品，它们的数量之比 分别为 ，现采用分层抽样的方法抽出一个容量为 的样本，其中甲种商品有12件，则此样本容量 = ;

12. 已知 是定义在 上的奇函数，对 恒有 ，且当 时， 则 ;

13.等差数列 的前 项和为 ，若 成公比为 的等比数列，则 = ;

特别提醒：14~16题，考生只能从中选做两题;若三道题都做的，则只计前两题的得分.

14.已知 的中线 交于 且 四点共圆，则 ;

15.在直角坐标系 中，极点与直角坐标系原点重合，极轴与 轴非负半轴重合建立极坐标系，若曲线 为参数)与曲线 有两个公共点，则实数 的取值范围是 ;

16.若关于 的不等式 在 内恒成立,则实数 的取值范围是 .

三.解答题.(共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)

17.(13分)

已知 的单増区间为 .

(1)求 的值;

(2)在 中，若 求角 的取值范围.

18.(13分)

如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为 ，已知每个元件正常工作的概率均为 ，且各元件相互独立.

(1)求电流能在M与 N之间通过的概率;

(2)记随机变量 表示 这四个元件中

正常工作的元件个数，求 的分布列及数学期望.

19.(13分)

如图， 多面体 中，四边形 为矩形， 且 分别为 中点.

(1)求异面直线 所成的角;

(2)若二面角 大小为 ，求 的长.

20.(12分)

在数列 中， 为其前 项和，向量 ，且 其中 且 .

(1)求数列 的通项公式;

(2)若 ，数列 满足对任意 ，都有 ，

求数列 的前 项和 .

21.(12分)

已知函数 .

(1)求 的单调区间和极值;

(2)若 ，求证： .

22.(12分)

已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且椭圆 经 过点 .

(1)求椭圆 的方程;

(2)求椭圆 的任意两条互 相垂直的切线的交点 的轨迹方程;

(3)设(2)中的两切点分别为 ，求点 到直线 的距离的最大值和最小值.

2014年重庆一中高2014级高三下期第三次月考

数学试题参考答案(理科) 2014.5

18.(13分)

解：(1) 记事件 为“元件 正常工作”， ，事件 表示“电流能在M与N之间通过”，则 ， 由于 相互独立，所以 ，

法一：

;

法二：从反面考虑：

;

(2)由题 ～ ， ，

易得 的分布列如右，期望 .

20.(12分)解：(1) 由

又由 ，两式相减得：

所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，

(2)法一：当 时 ， ，

在 中，令 则

因为 ，

所以 ，

将上式两边同 乘公比 得， ，

减去 得， ， 又 所以

所以 的前 项和 。

21.(12分)

负 0 正

单减 极小值 单增

(1)由于 ，令 ，列表：

于是 在 ，

在 处取得极小值，极小值为 ，无极大值;

(2)令 ，不妨设 ，

则 ，

而 在 上是增函数，所以

在 是增函数，所以

即 ;

(又或，本题(2)问还可以用函数凹凸性的性质：因 ，故 为下凸函数，而 且 ，故由下凸函数得性质知 ，直接利用函数凹凸性的性质是否要扣分请酌情处理)。

(3)设动点 ，则 ，下先证明直线 的方程为

设两切点 ，设过 的切线： 代入椭圆方程得：

由 得，

又 ，代入得：

于是过 的切线 当过 的切线斜 率不存在时仍然符合上式，

同理过 的切线 而 均过 ，故

由此可得直线 的方程为

所以 点到直线 的距离 ，

而 ，所以点 到直线 的距离的最大值和最小值分别为