2012高中数学知识点之闭区间上二次函数的最值问题
2012-03-29
【读者按】距离2012年高考还有一段的时间，留给考生朋友们的时间也是有越来越紧迫了。所以利用有限的时间尽可能的提高分数是当务之急，下边小编为大家总结高中数学知识点相关内容希望对大家有所帮助。
二次函数问题是近几年高考的热点，很受命题者的青睐，二次函数在闭区间上的最值问题是二次函数的重要题型之一。本代系统归纳这种问题的常见类型及解题策略。
一、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：(1)轴定，区间定;(2)轴定，区间变;(3)轴变，区间定;(4)轴变，区间变。
1. 轴定区间定
例1. (2002年上海)已知函数 ，当 时，求函数f(x)的最大值与最小值。
解析： 时，
所以 时， 时，
2. 轴定区间动
例2. (2002年全国)设a为实数，函数 ，求f(x)的最小值。
解析：
(1)当 时，
①若 ，则 ;
②若 ，则
(2)当 时，
①若 ，则 ;
②若 ，则
综上所述，当 时， ;当 时， ;当 时， 。
3. 轴动区间定
例3. 求函数 在区间 上的最小值。
解析：
(1)当 ，即 时， ;
(2)当 ，即 时， ;
(3)当 ，即 时， 。
综上，
评注：已知 ，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得 在 上的最大值或最小值。
4. 轴变区间变
例4. 已知 ，求 的最小值。
解析：将 代入u中，得
① ，即 时，
② ，即 时，
所以
二、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。
例5. 已知函数 在区间 上的最大值为4，求实数a的值。
解析：
(1)若 ，不合题意。
(2)若 ，则
由 ，得
(3)若 时，则
由 ，得
综上知 或
例6. 已知函数 在区间 上的值域是 ，求m，n的值。
解析1：讨论对称轴 中1与 的位置关系。
①若 ，则
解得
②若 ，则 ，无解
③若 ，则 ，无解
④若 ，则 ，无解
综上，
解析2：由 ，知 ，则 ，f(x)在 上递增。
所以
解得
评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
例7. 已知二次函数 在区间 上的最大值为3，求实数a的值。
分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分 与 两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到 的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。
解：(1)令 ，得
此时抛物线开口向下，对称轴为 ，且
故 不合题意;
(2)令 ，得 ，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故 符合题意;
(3)若 ，得 ，经检验，符合题意。
综上， 或
评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点(闭区间的端点、抛物线的顶点)的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。
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