2014年北京高考数学押题试卷(理)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.集合 ，则 =(　　)

A.{0,2,3} B.{0,1,4} C.{1,2,3} D.{1,4,5}

2.若函数 ，则该函数在 上是( )

A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值

C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值

3.已知函数 的最小正周期为 ，为了得到函数

的图象，只要将 的图象( )

A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度

C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度

4.设 则下列不等式成立的是(　　)

A. B. C. D.

5.“数列 为递增数列”的一个充分不必要条件是(　　)

A. 　　 B. 　 C. 　 D.

6.已知函数 内是减函数，则( )

A.0< ≤1 B.-1≤ <0 C. ≥1 D. ≤-1

7.M是正方体 的棱 的中点，给出下列命题：

①过M点有且只有一条直线与直线 、 都相交;

②过M点有且只有一条直线与直线 、 都垂直;

③过M点有且只有一个平面与直线 、 都相交;

④过M点有且只有一个平面与直线 、 都平行.其中真命题是( )

A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③

8.过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB

的外接圆方程是(　　)

A.(x-2)2+(y-1)2=5 B.(x-4)2+(y-2)2=20

C.(x+2)2+(y+1)2=5 D.(x+4)2+(y+2)2=20

9.已知二次函数 的导函数为 ，且 >0， 的图象与x

轴恰有一个交点，则 的最小值为 (　　 )

A.3 B.32 C.2 D.52

10.设 ， 分别为双曲线 ： 的左、右焦点， 为双曲线

的左顶点，以 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 、 两点，且满足：

，则该双曲线的离心率为( )

A. B. C. D.

二、选做题：请在下列两题中任选一题作答。若两题都做，则按第一题评阅计分。本题

共5分.

11.(1)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为： ，直线的极坐标方程为： .则它们相交所得弦长等于 .

(2)(不等式选做题)已知函数f (x)=|x-2|-|x- 5|，则不等式f (x)≥x2-8x+15的

解集为 .

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

12.复数z= (i为复数的虚数单位)的模等于 .

13.掷均匀硬币5次，则总共掷出3次正面且在整个投掷过程中掷出反面的次数总是小

于正面次数的概率是 .

14.语句：

S=0

i=1

Do

S=S+i

i=i+2

Loop while S ≤200

n=i-2

Output n 则正整数n= .

15.在平面直角坐标系中，设点 ，其中O为坐标原点，对于以下结论：

①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面 积为2;

②设P为直线 上任意一点，则[OP]的最小值为1;

③设P为直线 上的任意一点，则“使[OP]最小的点P有无数个”

的必要不充分条件是“ ”.

其中正确的结 论有 (填上你认为正确的所有结论的序号).

三、解答题 :本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小 题满分12分)已知△ABC的面积S满足 ≤S≤3，且 • = 6 , 与 的夹角为 .

(1) 求 的范围 ;(2)求函数 = 的最大值.

17.(本小题满分12分)八一商场进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获

得奖券一张，每张奖券中奖的概率为 ，中奖后商场返还顾客现金1000元. 顾客甲

购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是甲补偿50元给同事购买价格

600元的商品(甲可以得到三张奖券)，甲抽奖后实际支出为 (元).

(1)求 的分布列;

(2)试说明甲出资50元增加1张奖券是否划 算.

18.(本小题满分12分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， ，当E、F

分别在线段AD、BC上，且 ，AD=4，CB=6，AE=2.现将梯 形ABCD沿EF折

叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直.

(1) 判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论;

(2)当直线AC与面EFCD所成角的正切值为多少时，二面角A-DC-E的大小是60°?

19.(本小题满分12分)已知数列 的前n项和 满足：

(正常数 )， .

(1)求 的通项公式;

(2)设 ，若数列 为等比数列，求 的值;

(3)在满足条件(2)的情形下， ，数列 的前n项和为 ,

求证： .

20.(本小题满分13分)已知抛物线C1:y2=4x的焦点与椭圆C2: 的右焦点F2

重合，F1是椭圆的左焦点.

(1)在 ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线y2=4x上运动，求 ABC重心G

的轨迹方程;

(2)若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且∠PF1F2= ，∠PF2F1= ,求cos

的值及 PF1F2的面积.

21.(本小题满分14分)已知函数 (常数 .

(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程;

(2)讨论函数 在区间 上零点的个数( 为自然对数的底数).

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