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反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆

反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是：

欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真

反证法的证明

反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么?这个结论可以用穷举法证明：

某命题：若A则B，则此命题有4种情况：

1.当A为真，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真;

2.当A为真，B为假，则A→B为假，﹁B→﹁A为假;

3.当A为假，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真;

4.当A为假，B为假，则A→B为真，﹁B→﹁A为真;

∴一个命题与其逆否命题同真假

即反证法是正确的。

与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B则﹁A

假设﹁B,推出﹁A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的.

但实际推证的过程中,推出﹁A是相当困难的,所以就转化为了推出与﹁A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾.

例题：用反证法证明根号2不是有理数

假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得: 根号2=p/q 于是 p=(根号2)q 两边平方得 p^2=2q^2(“^”是几次方的意思) 由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。 因此可设p=2s,代入上式，得： 4s^2=2q^2, 即 q^2=2s^2. 所以q也是偶数。这样，p,q都是偶数，不互质，这与假设p,q互质矛盾。 这个矛盾说明，根号2不能写成分数的形式，即根号2不是有理数。

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