节课所讲的图形变换问题是指利用图形的旋转、平移、翻折等变形手段，考察图形中线段、角、面积等的数量关系变化规律的一类几何问题，这类问题的解答关键在于迁移思维和类比思想的运用，即运用变化之前的图形观察和构造出相应的数量关系，并观察图形变换过程数量关系的变与不变的规律。

1.如图：在Rt△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，O为AB的中点．⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；⑵如果点M、N分别在线段BC、AC上，∠MON=90°，猜想OM、ON的数量关系．⑶如果点M、N分别在线段BC、AC延长线上，且∠MON=90°，⑵中的猜想还成立吗？任选一图予以证明．

 

  

 

 

 

 

 

 

2.如图，△ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC边上，BD=CE．⑴求∠BFD度数．⑵当D、E分别在BC、CA延长线上时，如果仍有BD=CE，⑴中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

3.已知∠MAN，AB平分∠MAN．在图1中，若∠MAN=120°，∠BDA=∠BCA=90°，易知AD+AC=AB；在图2中，若∠MAN=120°，∠BDA+∠BCA=180°，则结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

4. ABCD是正方形，点E是直线DC上一点．∠BEF=90°，且EF交正方形外角∠ADG的平分线DF于点F，⑴求证：BE=EF．⑵当E为CD延长线上一点时，结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

5. 如图，在等边△ABC的边AB上任取一点D，作∠CDE=60°，DE交∠B的外角平分线于E，⑴求证：△CDE是等边三角形.⑵当D为AB延长线上一点时，结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

  

 

 

 

 

 

 

 

 

6.△DAB、△EBC均是等边三角形，AE、CD分别与BD、BE交于点M、N，O为AE、CD的交点，P、Q分别为AE、CD的中点，⑴当A、B、C在一条直线上时，求证：AE= DC；△BMN等边；∠AOD=60°；△BPQ等边⑵当△EBC绕着点B旋转任意角度时，以上结论哪些还成立，哪些不成立？

 

 

 

 

 

 

 

 

7.（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. 如图，在△ABC中，AC=BC，D是BA上任意一点，过D分别向AC、BC引垂线，垂足分别为E、F，BG是AC边上的高．⑴DE，DF，BG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；⑵若D在底边的延长线上，⑴中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．

 

  

 

 

 

 

 

 

9.如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，l为过点C的直线，分别过A点、B点作AF⊥l于F点，BE⊥l于E点，求证：⑴EF=BE-AF.⑵当l绕点C旋转至图2所示情况时，结论会有何变化？

  

 

 

10.△ABC等边， AD=BD，且∠ADB=120°，将一60°角的顶点置于D点，且两边分别与AC、BC交于点E、F，⑴求证：EF=AE+BF.⑵当E、F分别为CA、BC延长线上的点时，结论会发生什么变化？试证明你的结论.

 

 

 

 

 

 

11.正方形ABCD中，E、F分别是边AD、AB上的点，且∠ECF=45°，⑴求证：EF=BF+DE.⑵若将∠ECF旋转，使点E、F分别落在AD、BA延长线上时，结论会发生什么变化？试证明你的结论.

 

 

 

 

 

 

 

 

12.如图1，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN= ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．

如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN= ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请证明．

 

 

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