24. （8分）如图，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G，求证：∠AHE=∠CHG.

 

 证明：

∵AD、BE、CF为△ABC的角平分线，

∴可设∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，

则2x+2y+2z=180°，

即x+y+z=90°，

在△AHB中，

∵∠AHE是△AHB的外角，

∴∠AHE=∠BAD+∠ABE=x+y=90°-z，

在△CHG中，∠CHG=90°-z，

∴∠AHE=∠CHG．

 

25. （8分）如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心.此时，M是线段PQ的中点.如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）.点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…….对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），⑴试求出点P2、P7、P100的坐标. ⑵观察⑴的结果，如果M1（x1，y1）、M2（x2，y2）中点为M，试表示点M的坐标.

 

 解：

⑴P2的坐标是（1，-1），P7的坐标是（1，1），P100的坐标是（1，-3）．（6分）

⑵M（ ）（8分）

 

 

26. （10分）正在修建的某条公路招标，现有甲乙两个工程队，若甲乙合作24天可以完成，需要费用120万元；若甲单独做20天后剩下的工程由乙做，还需40天完成，这样需费用110万元，问：⑴甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？⑵甲乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？⑶若甲乙两队同时开工，且要使工程总费用不超过100万元，则乙队至少需要工作多少天？

解：⑴设甲、乙各需x、y天完成

，解得 ，∴甲、乙两队单独完成此项工程各需30、120天. （4分）

⑵设甲、乙两队各需a、b万元

，解得 ，4.5×30=135万元、0.5×120=60万元∴甲乙两队单独完成此项工程各需费用135、60万元. （7分）

⑶设乙队至少需要t天.

0.5t+ ·4.5≤100，解得t≥56，∴乙队至少需要工作56天. （10分）

 

27. （12分）为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水.⑴请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少万元？⑵请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；⑶若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在⑵的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费）

解：⑴设每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是x、y万元

，解得 ，∴每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是12、9万元. （3分）

⑵设二期工程需甲型a台，乙型b台，

，解得 ，∴a=1、2、3、4，

即购买甲型1台，乙型7台；甲型2台，乙型6台；甲型3台，乙型5台；甲型4台，乙型4台. （8分）

⑶设总费用为W万元

W=12a+9(8-a)+10a+1.5(8-a)·10= -2a+192

当a=4时，W最少=184（万元）

当购买甲型4台，乙型4台时，总费用最少为184万元. （12分）