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初一奥数期末自测题(四)及答案解析

1.已知a，b，c，d都是正数，并且

a+d

求证：ac+bd

2.已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍.因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍.调价后，甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了2%，求乙种商品提价的百分数.

3.在锐角三角形ABC中，三个内角都是质数.求三角形的三个内角.

4.某工厂三年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半，求原计划每年各生产多少台?

z=|x+y|+|y+1|+|x-2y+4|，

求z的最大值与最小值.

8.从1到500的自然数中，有多少个数出现1或5?

9.从19，20，21，…，98这80个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶数的选法有多少种?

答案解析：

1.由对称性，不妨设b≤a，则

ac+bd≤ac+ad=a(c+d)

2.设乙种商品原单价为x元，则甲种商品的原单价为1.5x元.设甲商品降价y%，则乙商品提价2y%.依题意有

1.5x(1-y%)+x(1+2y%)=(1.5x+x)(1+2%)，

化简得

1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02.

所以y=0.1=10%，

所以甲种商品降价10%，乙种商品提价20%.

3.因为∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A，∠B，∠C中必有偶数.唯一的偶质数为2，所以

∠C=2°.

所以

∠A+∠B=178°.

由于需∠A，∠B为奇质数，这样的解不唯一，如

4.设每年增产d千台，则这三年的每一年计划的千台数分别为a-d，a，a+d.依题意有

解之得

所以三年产量分别是4千台、6千台、8千台.

不等式组：

所以 　　　　　　　　　　x>2;

无解.

6.设原式为S，则

所以

又

<0.112-0.001=0.111.

因为

所以

=0.105

即为所求.

7.由|x|≤1，|y|≤1得

-1≤x≤1，-1≤y≤1.

所以

y+1≥0，

x-2y+4≥-1-2×1+4=1>0.

所以

z=|x+y|+(y+1)+(x-2y+4)

=|x+y|+x-y+5.

(1)当x+y+≤0时，

z=-(x+y)+x-y+5=5-2y.

由-1≤y≤1可推得3≤5-2y≤7，所以这时，z的最小值为3、最大值为7.

(2)当x+y>0时，

z=(x+y)+(x-y+5)=2x+5.

由-1≤x≤1及可推得3≤2x+5≤7，所以这时z的最小值为3、最大值为7.

由(1)，(2)知，z的最小值为3，最大值为7.

8.百位上数字只是1的数有100，101，…，199共100个数;十位上数字是1或5的(其百位上不为1)有

2×3×10=60(个).

个位上出现1或5的(其百位和十位上都不是1或5)有

2×3×8=48(个).

再加上500这个数，所以，满足题意的数共有

100+60+48+1=209(个).

9.从19到98共计80个不同的整数，其中有40个奇数，40个偶数.第一个数可以任选，有80种选法.第一个数如果是偶数，第二个数只能在其他的39个偶数中选取，有39种选法.同理，第一个数如果是奇数，第二个数也有39种选法，但第一个数为a，第二个为b与第一个为b，第二个为a是同一种选法，所以总的选法应该折半..