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初一奥数期末自测题(二)及答案解析

1.已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x+2000的值.

2.某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件.试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润?最大利润是多少元?

3.如图1-96所示.已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1+∠2=90°.求证：

DA⊥AB.

4.已知方程组

的解应为

一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为

求a2+b2+c2的值.

5.求方程|xy|-|2x|+|y|=4的整数解.

6.王平买了年利率7.11%的三年期和年利率为7.86%的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少?(已知一年期定期储蓄年利率为5.22%)

7.对k，m的哪些值，方程组

至少有一组解?

8.求不定方程3x+4y+13z=57的整数解.

9.小王用5元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望?

答案解析：

1.原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000

=2x×1+3×1-2x+2000

=2003.

2.原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4+x)元，但每天卖出为(100-10x)件.如果设每天获利为y元，则

y =(4+x)(100-10x)

=400+100x-40x-10x2

=-10(x2-6x+9)+90+400

=-10(x-3)2+490.

所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元.

3.因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1+∠2=90°(图1-104)，所以

∠ADC+∠BCD=180°，

所以 　　　　　　　　　　　　　　　AD∥BC.

又因为　　　　　　　　　　　　　　 AB⊥BC，

由①，②

AB⊥AD.

4.依题意有

所以　　　　　　　a2+b2+c2=34.

5.|x||y|-2|x|+|y|=4，即

|x|(|y|-2)+(|y|-2)=2，

所以

(|x|+1)(|y|-2)=2.

因为|x|+1>0，且x，y都是整数，所以

所以有

6.设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则

因为　　　　　　　　　　　　　y=35000-x，

所以

x(1+0.0711×3)(1+0.0522)2

+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，

所以

1.3433x+48755-1.393x=47761，

所以 　　　　　　　　　　　0.0497x=994，

所以 　　　　　　　　　　　x=20000(元)，

y=35000-20000=15000(元). 来

7.因为

(k-1)x=m-4， ①

m为一切实数时，方程组有唯一解.当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解.

当k=1，m≠4时，①无解.

所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解.

8.由题设方程得

z=3m-y.

x=19-y-4(3m-y)-m

=19+3y-13m.

原方程的通解为

其中n，m取任意整数值.

9.设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则

消去y，得12x-5z=180.它的解是

x=90-5t，z=180-12t.

代入原方程，得y=-230+17t.故

x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t.

x=20，y=8，z=12.

因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.