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如何化简绝对值(奥数辅导)

绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。

一、根据题设条件

例1 设

化简

的结果是( )。

 

(A)

(B)

(C)

(D)

 

思路分析 由

可知

可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去.

 

解

 

∴ 应选(B).

归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路.

二、借助教轴

例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式

的值等于( ).

 

(A)

(B)

(C)

(D)

 

 

 

思路分析 由数轴上容易看出

，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍.

 

解 原式

 

∴ 应选(C).

归纳点评 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：

1.零点的左边都是负数，右边都是正数.

2.右边点表示的数总大于左边点表示的数.

3.离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了.

三、采用零点分段讨论法

例3 化简

 

思路分析 本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于

的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论.

 

解 令

得零点：

;令

得零点：

，把数轴上的数分为三个部分(如图)

 

 

 

①当

时,

 

∴ 原式

 

②当

时，

，

 

∴ 原式

 

③当

时，

，

 

∴ 原式

 

∴

 

归纳点评 虽然

的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：

 

1.求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点(不一定是两个).

2.分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定.

3.在各区段内分别考察问题.

4.将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案.

误区点拨 千万不要想当然地把

等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果.

 

练习：

请用文本例1介绍的方法解答l、2题

1.已知a、b、c、d满足

且

，那么

 

2.若

，则有( )。

 

(A)

(B)

(C)

(D)

 

请用本文例2介绍的方法解答3、4题

3.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子

化简结果为( ).

 

 

 

(A)

(B)

(C)

(D)

 

4.有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，

中负数的个数是( ).

 

 

 

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

请用本文例3介绍的方法解答5、6题

5.化简

 

6.设x是实数，

下列四个结论中正确的是( )。

 

(A)y没有最小值

(B)有有限多个x使y取到最小值

(C)只有一个x使y取得最小值

(D)有无穷多个x使y取得最小值

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