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例谈绝对值问题的求解方法(奥数辅导)

 在初中数学竞赛试题中常出现绝对值问题，这是初中生较难把握的一类问题，现介绍若干种常见的解题方法，供参考。

一、定义法

例1 若方程

只有负数解，则实数a的取值范围是：_________。

 

分析与解 因为方程只有负数解，故

，原方程可化为：

 

 

，

 

∴

，

 

即

 

说明 绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零;其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。

二、利用非负性

例2 方程

的图象是( )

 

(A)三条直线：

 

(B)两条直线：

 

(C)一点和一条直线：(0，0)，

 

(D)两个点：(0，1)，(-1，0)

分析与解 由已知，根据非负数的性质，得

 

即

或

 

解之得：

或

 

故原方程的图象为两个点(0，1)，(-1，0)。

说明 利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。

三、公式法

例3 已知

，求

的值。

 

分析与解

，

 

∴原式

 

 

 

说明 本题根据公式

，将原式化为含有

的式子，再根据绝对值的定义求值。

 

四、分类讨论法

例4 实数a满足

且

，那么

 

分析与解 由

可得

 

 

且

。

 

当

时，

 

 

;

 

当

时，

 

 

 

说明 有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。

五、平方法

例5 设实数a、b满足不等式

，则

 

(A)

且

 

(B)

且

 

(C)

且

 

(D)

且

 

分析与解 由于a、b满足题设的不等式，则有

 

，

 

整理得

 

，

 

由此可知

，从而

 

 

 

上式仅当

时成立，

 

∴

，即

且

，

 

选B。

说明 运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。

六、图示法

例6 在式子

中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是( )

 

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

分析与解 问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是-1、-2，-3、-4，求一点P，使

最小(如图)。

 

 

 

由于

是当P点在线段AD上取得最小值3，

是当P在线段BC上取得最小值1，故

的最小值是4。选D。

 

说明 由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。

七、验证法

例7

是一个含有4重绝对值符号的方程，则( )

 

(A)0、2、4全是根

(B)0、2、4全不是根

(C)0、2、4不全是根

(D)0、2、4之外没有根

分析与解 从答案中给出的0、2、4容易验证都是方程的根，并且通过观察得知-2也是一根，因此可排除B、C、D，故选A。

说明 运用此法是从题干出发，取符合题意的某些特殊值或特殊图形，与选择支对照检验，从而判定各个选择支的正误。

八、代数式零点法

例8

的最小值是_________。

 

分析与解 由

可确定零点为-1、2、3。

 

当

时，

 

原式

;

 

当

时，

 

原式

;

 

当

时，

 

原式

;

 

当

时，

 

原式

 

综上知所求最小值为4。

说明 运用此法解决含字母代数式绝对值化简方法是：(1)先求代数式零点，把数轴分为若干区间;(2)判定各区间内代数式的正负号;(3)依据绝对值的定义，去掉绝对值符号。

九、数形结合法

例9 已知二次函数

的图象如图所示，并设

，则( )

 

(A)

(B)

(C)

(D)不能确定M为正、负或为0

 

 

 

分析与解 令

中

，由图象得：

;

 

令

得

 

∵顶点在第四象限，

∴顶点的横坐标

 

又

，

 

而

，

 

∴

，即

 

故

 

 

 

选C。

说明 运用此法是将抽象思维和形象思维结合起来，达到以形助数，以数助形，可以使许多复杂问题获得简便的解决。

十、组合计数法

例10 方程

，共有几组不同整数解

 

(A)16 (B)14 (C)12 (D)10

分析与解 由已知条件可得

 

 

 

 

当

时，

;

 

当

时，

;

 

当

时，

;

 

当

时，

。

 

共有12组不同整数解，故选C。

说明 此法具有较强的技巧性，必须认真分析条件，进行分类、归纳，从中找出解决问题的方法。

十一、枚举法

例11 已知a为整数，

是质数，试确定a的所有可能值的和。

 

分析与解 设

是质数p，则

仅有因子±1及

。

 

 

 

当

时，

 

 

，此时，

;

 

当

时，

 

 

，此时，

;

 

当

时，

 

 

，此时，

;

 

当

时，

 

 

，此时，

 

∴当a取整数-1、-2、5、4时，

是质数， 即a的所有可能值的和为6。

 

说明 运用此法是指在题目条件的范围内，将可能的情况一一列举出来，然后通过比较、检验进行筛选，最终确定结果。

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