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2013年初一新生入学测试试题及分析

著名的数学家斯蒂芬 巴纳赫于1945年8月31日去世，他在世时的某年的年龄恰好是该年份 的算术平方根(该年的年份是他该年年龄的平方数).则他出生的年份是 _____，他去世 时的年龄是 ______ . 【答案】1892年;53岁。 2 2 【解】 首先找出在小于1945，大于1845的完全平方数，有1936=44 ，1849=43 ，显然只有

1936符合实际，所以斯蒂芬 巴纳赫在1936年为44岁. 那么他出生的年份为1936-44=1892年. 他去世的年龄为1945-1892=53岁. 【提示】要点是：确定范围，另外要注意的潜台词”：年份与相应年龄对应，则有年份-年龄 =出生年份。 17. 某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两 ，那么要有 ___ 人报 名参加运动会，才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同. 【答案】46 C2 10 【解】 十项比赛，每位同学可以任报两 ，那么有 =45种不同的报名方法. 那么，由抽屉原理知为 45+1=46人报名时满足题意.

18.

24. 如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，AC和BD是对角线，图中的阴影部分以CD为 轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?( =3.14) 【答案】565.2立方厘米 【解】设三角形BOC以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是S，S等于高为10厘米，底面半 径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘 米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。即： 1 1 S= 3 2 32 ×6 ×10×π-2× ×3 ×5×π=90 ， 2S=180 =565.2 (立方厘米) 【提示】S也可以看做一个高为5厘米，上、下底面半径是3、6厘米的圆台的体积减去一个高为 5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。 4.如图，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若 这些线段的长度的积为10500，则线段AB的长度是 。 【答案】5 【解】由A，B，C，D四个点所构成的线段有：AB，AC，AD，BC，BD和CD，由于点B是线 3 段AD的中点，可以设线段AB和BD的长是x，AD=2x，因此在乘积中一定有x 。 ----------------------- 页面 2----------------------- 对10500做质因数分解： 2 3 10500=2 ×3×5 ×7， 3 所以，x=5,AB×BD×AD=5 ×2,AC×BC×CD=2×3×7, 所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10. 5.设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟， 注满第二个人的桶需要2分钟，…….如此下去，当只有两个水龙头时，巧妙安排这十个人打水， 使他们总的费时时间最少.这时间等于_________分钟. 【答案】125分钟 【解】 不难得知应先安排所需时间较短的人打水. 不妨假设为： 第一个水龙头 第二个水龙头 第一个 A F 第二个 B G 第三个 C H 第四个 D I 第五个 E J 显然计算总时间时，A、F计算了5次，B、G计算了4次，C、H计算了3次，D、I计算了2 次，E、J计算了1次. 那么A、F为1、2，B、G为3、4，C、H为5、6，D、I为7、8，E、J为9、10. 所以有最短时间为(1+2)×5+(3+4)×4+(5+6)×3+(7+8)×2+(9+10)×1=125分钟. 评注：下面给出一排队方式： 第一个水龙头 第二个水龙头 第一个 1 2 第二个 3 4 第三个 5 6 第四个 7 8 第五个 9 10 【提示】想象一下，如果你去理发店理发，只需要一分钟，可能这时已有一位阿姨排在你的前 面，她需要1小时。这时，你请她让你先理，她可能很轻松地答应你了。 可是，如果反过来，你排队在前，这位阿姨请你让她先理，你很难同意她的要求，而且大 家都认为她的要求不合理，这是为什么呢?

可以看到，一个水龙头时的等待总时间算法是： S=A+A+B+A+B+C+A+B+C+D+A+B+C+D+E=5A+4B+3C+2D+E 所以，要想使总时间S最小，则要A

两个水龙头可参见排队方法，但排队方法不唯一。有一个原则: (A+F)<(B+G)<(C+H)<(D+I)<(E+J)

6. 一辆汽车把货物从城市运往山区，往返共用了20小时，去时所用时间是回来的1.5倍，去时 每小时比回来时慢12公里.这辆汽车往返共行驶了 _____公里. 【答案】576 【解】 记去时时间为 1.5”，那么回来的时间为 1”. 所以回来时间为20÷(1.5+1)=8小时，则去时时间为1.5×8=12小时. ----------------------- 页面 3----------------------- 根据反比关系，往返时间比为1.5 ︰1=3 ︰2,则往返速度为2：3, 按比 分配，知道去的速度为12÷(3-2)×2=24 (千米) 所以往返路程为24×12×2=576 (千米)。

7. 有70个数排成一排，除两头两个数外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数之和.已知前两 个数是0和1，则最后一个数除以6的余数是 ______ . 【答案】4 【解】显然我们只关系除以6的余数，有0，1，3，2，3，1，0，5，3，，3，5，0，1，3，…… 有从第1数开始，每12个数对于6的余数一循环， 因为70÷12=5……10， 所以第70个数除以6的余数为循环中的第10个数，即4. 【提示】找规律，原始数据的生成也是关键，细节决定成败。

8. 老师在黑板上写了一个自然数。第一个同学说：这个数是2的倍数。”第二个同学说：这 个数是3的倍数。”第三个同学说：这个数是4的倍数。”……第十四个同学说：这个数是15的 倍数。”最后，老师说：在所有14个陈述中，只有两个连续的陈述是错误的。”老师写出的最 小的自然数是。 【答案】60060 【解】2，3，4，5，6，7的2倍是4，6，8，10，12，14，如果这个数不是2，3，4，5，6，7的 倍数，那么这个数也不是4，6，8，10，12，14的倍数，错误的陈述不是连续的，与题意不符。 所以这个数是2，3，4，5，6，7的倍数。由此推知，这个数也是(2×5=)10，(3×4=)12，(2 ×7)14，(3×5=)15的倍

数。在剩下的8,9,11,13中，只有8和9是连续的，所以这个数不是8和9的倍数。2，3，4，5，6， 2 7，10，11，12，，13，14，15的最小公倍数是2 ×3×5×7×11×13=60060。

11.小王和小李平时酷爱打牌，而且推理能力都很强。一天，他们和华教授围着桌子打 华教授给他们出了道推理题。 华教授从桌子上抽取了如下18张扑克牌： 红桃A，Q，4 黑桃J，8，4，2，7，3，5 草花K，Q，9，4，6，lO 方块A，9 华教授从这18张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉小王，把这张牌的花色告诉小 李。然后，华教授问小王和小李，你们能从已知的点数或花色中推断出这张牌是什么牌吗? 小王：我不知道这张牌。” 小李：我知道你不知道这张牌。” 小王：现在我知道这张牌了。” 小李：我也知道了。” 请问：这张牌是什么牌? 【答案】方块9。 【解】小王知道这张牌的点数，小王说：我不知道这张牌”，说明这张牌的点数只能是A，Q， 4，9中的一个，因为其它的点数都只有一张牌。 如果这张牌的点数不是A，Q，4，9，那么小王就知道这张牌了，因为A，Q，4，9以外的点 数全部在黑桃与草花中，如果这张牌是黑桃或草花，小王就有可能知道这张牌，所以小李说： 我知道你不知道这张牌”，说明这张牌的花色是红桃或方块。 现在的问题集中在红桃和方块的5张牌上。 因为小王知道这张牌的点数，小王说：现在我知道这张牌了”，说明这张牌的点数不是A， ----------------------- 页面 4----------------------- 否则小王还是判断不出是红桃A还是方块A。 因为小李知道这张牌的花色，小李说：我也知道了”，说明这张牌是方块9。否则，花色 是红桃的话，小李判断不出是红桃Q还是红桃4。

【提示】在逻辑推理中，要注意一个命题真时指向一个结论，而其逆命题也是明确的结论。

10. 3 11 【答案】 【解】将分子、分母分解因数：9633=3×3211，35321=11×3211 【提示】用辗转相除法更妙了。

12.已知三位数的 位数字之积等于10，则这样的三位数的个数是 _____ 个. 【答案】6 P 3 3 【解】 因为10=2×5，所以这些三位数只能由1、2、5组成，于是共有 =6个.

12. 下图中有五个三角形，每个小三角形中的三个数的和都等于50，其中A =25，A +A +A + 7 1 23

A =74，A +A +A +A =76，那么A 与A 的和是多少? 4 9 35 10 2 5

A1

A9 A2 A8 A 7

6 A3 A A 5

4 A10 A

【答案】25 【解】 有A +A +A =50， 1 2 8

A +A +A =50， 9 2 3

A +A +A =50， 4 3 5

A +A +A =50， 10 5 6

A +A +A =50， 7 8 6

于是有A +A +A +A +A +A +A +A +A +A +A +A +A +A +A =250， 1 2 8 9 2 3 4 3 5 10 5 6 7 8 6

即(A+A +A +A )+(A +A +A +A )+A +A +2A +2A + A =250. 1 2 3 4 9 3 5 10 2 5 6 87

有74+76+A +A +2(A +A )+ A =250，而三角形A A A 中有A +A +A =50，其中A =25，所以A +A 2 56 876 7 86 7 8 7 6 8

=50-25=25. 那么有A +A =250-74-76-50-25=25. 2 5

【提示】上面的推导完全正确，但我们缺 方向感和总体把握性。 其实，我们看到这样的数阵，第一感觉是看到这里5个50并不表示10个数之和，而是这 10个数再加上内圈5个数的和。这一点是最明显的感觉，也是重要的等量关系。 再看问题定方向”，要求第2个数和第5个数的和， ----------------------- 页面 5----------------------- 说明跟内圈另外三个数有关系，而其中第6个数和第8个数的和是50-25=25, 再看第3个数，在加两条直线第1、2、3、4个数和第9、3、5、10个数时，重复算到第3个 数， 好戏开演： 74+76+50+25+第2个数+第5个数=50×5 所以 第2个数+第5个数=25

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