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多边形的内角和检测试题

【例1】 已知一个多边形，它的外角和等于内角和的四分之—，求这个多边形的边数.

【解析】 本题根据多边形的内角和(与边数n有关)与外角和(恒为360°，与边数无关)的一种关系，利用己知条件列出关于n的一元一次方程，求解边数n.

【答案】 设多边形的边数为n，因为它的内角和等于(n-2)•180°，外角和等于360°，根据题意，得 (n-2)•180=300.

解得n=10.

答:这个多边形的边数是10.

【例2】 己知一个多边形的各个内角都是120°，求这个多边形的边数.

【解析】 此题既可用多边形内角和公式列方程求解，也可以由多边形的外角和等于360°列方程求解.不论用什么方法求解，都要抓住问题的实质，列方程求解是解这类题的常用方法.

【答案】 解法一 设这个多边形的边数为n，则有(n-2)•180°=n•150

解得n=12

解法二 设这个多边形的边数为n，则有

n•(180-150)=360

解得n=12

【例3】 凸多边形的每一个内角都小于180°，那么凸多边形中最多可以有几个钝角?几个锐角?几个直角呢?

【解析】 由于凸多边形的边数不确定，可以由边数较少的情形来探索，再归纳出一般性的结论.

【答案】 设凸多边形的边数为n，当n=3时，三角形最多只有一个钝角;当n=4时，因为四边形的内角和为360°，故不可能有四个钝角，但现在可以有3个钝角，当n≥5时，看正n边形，它的所有内角都相等，则所有的外角也都相等，由于n边形的外角和为360°，故每一个外角为 ，由于n≥5， <90°,即正n边形的每一个外角均为锐角.故n边形(n≥5)可有n个钝角.

当n=3时，三角形最多有三个锐角(如锐角三角形);当n=4时，四边形不可能四个角都是锐角，否则内角和小于360°;当n≥5时，多边形不可能多于3个锐角，否则若有四个内角为锐角，则这四个锐角的外角为钝角，其外角和大于360°.故当n≥5时，多边形最多有三个内角是锐角.故凸多边形中锐角最多有三个.

当n=3时，最多只有一个直角(直角三角形);

当n=4时，最多有四个直角(矩形);当n≥5时，最多有三个直角，否则若有四个直角，则四个外角为直角，从而这个多边形的外角和大于360°.故凸多边形最多有四个直角.

总分100分 时间60分钟 成绩评定________________

一、填空题(每题5分，共50分)

课前热身

1.五边形的内角和等于________度;(3n-2)边形的内角和是________.

答案：540;(3n-1)•180°

2.一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________.

答案：1140°

课上作业

3.已知一个五边形的4个内角都是100°，则第5个内角的度数是________.

答案： 140°

4.如果正多边形的一个外角等于72°，那么它的边数是________.

答案：5

5.若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是___________.

答案：十二边形

6.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形，这个多边形的边数是_______.

答案：12

课下作业

7.四边形的四个内角度数之比为4∶5∶6，则这个四边形各内角度数分别为_____________.

答案：60°、80°、100°、120°

8.一个多边形除了一个内角之外，其余各内角之和是2570°，则这个内角的度数等于______.

答案：130°

9.两个正多边形，其边数m、n满足 ,从这两个正多边形中各取一个内角，则这两个角的和是__________

答案：270°

10.一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形，它的内角为2520°，则原多边形的边数为_________.

答案：15或16或17

二、选择题(每题5分，共10分)

模拟在线

11.(2010云南)正多边形的一个外角的度数为36°，则这个正多边形的边数为( )

A.6 B.8 C.10 D.12

答案：D

12.(2010江苏)多边形的内角和不可能为( )

A.180° B.680° C.1080° D.1980°

答案：C

13.(2010广西)小明和小亮分别利用图7-63中b、c的不同方法求出了五边形的内角和都是540°，请你考虑在图7-63a中再用另外一种方法求五边形的内角和，并写出求解的过程.

图7-63

答案：略

14.如果一个正多边形的最小的一个内角是120°，比它稍大的一个内角是125°，以后依次每一个内角比前一个内角多5°，且所有内角的和最大的内角的度数之比是63∶8，试求这个多边形边数.

答案：9(设此多边形是n边形，它的最大内角度数为120°+(n-1)•5°，则有 解得n=9，

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