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 七年级数学下册经验归纳法竞赛辅导资料

甲内容提要

1.通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。

通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如

①由 ( - 1)2 = 1 ，(- 1 )3 =- 1 ，(- 1 )4 = 1 ，……，

归纳出 - 1 的奇次幂是- 1，而- 1 的偶次幂 是 1 。

②由两位数从10 到 99共 90 个( 9 × 10 )，

三位数从 100 到 999 共900个(9×102)，

四位数有9×103=9000个(9×103)，

…………

归纳出n 位数共有9×10n-1　(个)

③ 由1+3=22,　1+3+5=32,　1+3+5+7=42……

推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。

可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。

2.　经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。

由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。(到高中，大都是用数学归纳法证明)

乙例题

例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点?

解：两条直线只有一个交点， 1 2

第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1+2 3

第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1+2+3

第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1+2+3+4

………

第n条直线和前n-1条直线都相交，增加了n-1个交点

由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1+2+3+……n-1(个)，

这里n≥2，其和可表示为[1+(n+1)]× ,　即 个交点。

例2.符号n!表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如

5!=1×2×3×4×5。试比较3n与(n+1)!的大小(n 是正整数)

解：当n =1时，3n=3,　(n+1)!=1×2=2

当n =2时，3n=9，　(n+1)!=1×2×3=6

当n =3时，3n=27,　(n+1)!=1×2×3×4=24

当n =4时，3n=81,　(n+1)!=1×2×3×4×5=120

当n =5时，3n=243,　(n+1)!=6!=720　　……

猜想其结论是：当n=1，2，3时，3n>(n+1)!，当n>3时3n<(n+1)!。

例3　求适合等式x1+x2+x3+…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解。

分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个……直到发现规律为止。

解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2

x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3

x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4

x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5

x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6

…………

由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3+…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解为x1=x2=x3=……=x2001=1, 　x 2002=2，　x2003=2003。

丙练习14

1. 除以3余1的正整数中，一位数有__个，二位数有__个，三位数有__个，n位数有____个。

2. 十进制的两位数 可记作10a1+a2,三位数 记作100a1+10a2+a3,四位数 记作____，n位数___ 记作______

3. 由13+23=(1+2)2，13+23+33=(1+2+3)2，13+23+33+43

=(___)2 ,13+______=152，13+23+…+n3=( )2。

4. 用经验归纳法猜想下列各数的结论(是什么正整数的平方)

① =(___)2;; - =(　__)2。

② =(____)2; =(___)2

5. 把自然数1到100一个个地排下去：123……91011……99100

① 这是一个几位数?②这个数的各位上的各个数字和是多少

6.计算 + + +…+ =

(提示把每个分数写成两个分数的差)

7.a是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小.

8.. 如图把长方形的四条边涂上红色，然

后把宽3等分，把长8等分，分成24个

小长方形，那么这24个长方形中，

两边涂色的有__个，一边涂色的有__个，四边都不着色的有__个。

本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中，两边涂色的有__个，一边涂色的有__个，四边都不着色的有__个

9.把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有__个，两面涂色的有___个，一面涂色的有___个，四面都不涂色的有____个。

本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，(m,n,p都是大于2的自然数)那么这mnp个正方体中，三面涂色的有___个，两面涂色的有___个，一面涂色的有____个，四面都不涂色的有_____个。

10.一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成___块，其中不带皮的有__块。

11.已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是___，___。

练习　14

1. 3，30，3×102，3×10n-1

2. 10n-1a1+10n-2a2_+……+10an-1+an

4. ①333332, 　 　　② ，

5.①192位，②901位(50个18，加上1)

6.　∵ = - 　……

7. a=1,2时，aa+1<(a+1)a ……

8. 4,14,6; 4, 2m+2n-8, (m-2)(n-2)

9. 8,24,24,8;

8，4×[(m-2)+(n-2)+(p-2)],2[(m-2)(n-2)+(m-2)](p-2)+(n-2)(p-2)],

(m-2)(n-2)(p-2)

10. 64,8 11. 3334

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