2014年最新数学巩固初三年级《矩形、菱形、正方形》

如图1，∵四边形ABCD是矩形， ∴ 。 例1：(2009年牡丹江市)矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE∶ED=1∶3,AE=AA,则BD= . 解：情形一，如图例1-a.∵OE∶ED=1∶3，OE∶OD=1∶2，∵四边形ABCD为矩形，故 OB=OD，∴E为BD中点，∴AB=AO=BO，∴△ABO为等边三角形，∵AE=AA，∴AO=2，∴BD=2BO=2AO=4. 情形二，点E在线段OD之间，如图例1-b.∵OE∶ED=1∶3,可设OE=a，则OD=OA=4a.在Rt△AEO中由勾股定理得AO2=OE2+AE2，∴(4 a)2= a2+3, ∴a=EAA，∴BD=2BO=2AO=EAA. 故BD=4或BD=EAA. 同步测试1： 1.(2009年凉山州)如图2，将矩形沿对角线折叠，使落在处，交于，则下列结论不一定成立的是( ) A. B. C. D. 2.(2009年长沙)如图3，矩形的两条对角线相交于点，，则矩形的对角线的长是( ) A.2 B.4 C. D. 知识点二：矩形的判定 ⑴有一个角是 的 是矩形; 如图4，∵ ， ， ∴四边形ABCD是矩形; ⑵有 个角是直角的四边形是矩形; 如图4，∵ ， ∴四边形ABCD是矩形; ⑶对角线 的 是矩形; 如图4，∵ ， ， ∴四边形ABCD是矩形。 例2：(2008湖北咸宁)如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F. (1)求证：EO=FO; (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形? 并证明你的结论. 解(1)证明： ∵CE平分，　　 ∴， 又∵MN∥BC，　∴，　∴，　　　　　 ∴. 同理，. ∴ . (2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. ∵，点O是AC的中点. ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵，. ∴，即. ∴四边形AECF是矩形. 同步测试2： 1.(2009年漳州)如图，要使成为矩形，需添加的条件是( ) A. B. C. D. 2.(2009年上海市)在四边形中，对角线与互相平分，交点为.在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 . 知识点三：菱形的特有性质 菱形的四条边 ，对角线 并且 。 如图6，∵四边形ABCD是菱形， ∴ 。 例3：(2009肇庆)如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，. (1)求证：△ABD是正三角形; (2)求 AC的长(结果可保留根号). 解：(1)证明：∵AC是菱形ABCD的对角线， ∴AC平分∠BCD. 又∠ACD=30°，∴∠BCD=60°. ∵∠BAD与∠BCD是菱形的一组对角， ∴∠BAD=∠BCD=60°. ∵AB、AD是菱形的两条边，∴. ∴△ABD是正三角形. (2)解：∵O为菱形对角线的交点， ∴. 在中，， ∴， ∴，答 同步测试3： 1.(2009年衡阳市) 如图7，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论中正确的个数为( ) ①DE=3cm; ②EB=1cm; ③. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 2.(2009年长春)菱形在平面直角坐标系中的位置如图8所示，，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 知识点四：菱形的判定 ⑴有一组邻边 的 是菱形; 如图9，∵ ， ， ∴四边形ABCD是菱形; ⑵ 的四边形是菱形; 如图9，∵ ， ∴四边形ABCD是菱形; ⑶对角线 的 是菱形; 如图9，∵ ， ， ∴四边形ABCD是菱形。 例4：(2009年兰州)如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论. 解：∵ PQ为△ABC的中位线， ∴ PQ AC. 同理 MNAC. ∴ MNPQ，∴ 四边形PQMN为平行四边形. 在△AEC和△DEB中， AE=DE，EC=EB，∠AED=60°=∠CEB， 即 ∠AEC=∠DEB.∴ △AEC≌△DEB.∴ AC=BD. ∴ PQ=AC=BD=PN，∴ □PQMN为菱形. 同步测试4： 1.(2008天津)在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(，0)，C(0，)，D(，0)，则以这四个点为顶点的四边形是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 2.(2009年广西梧州)如图10，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD. (1)求证：AD=CE; (2)填空：四边形ADCE的形状是U ★ U. 知识点五：正方形的性质 有 并且有 的 叫做正方形。 例5：(2009年南充)如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG于F. 求证：. 证明：是正方形，. ，. . 又，. ， . 在与中，， .. ，. 同步测试5： 1.(2009年湖北荆州)如图11，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 2.(2009年孝感)如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上.小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF;小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF.你认为 ( ) A.仅小明对 B.仅小亮对 C.两人都对 D.两人都不对 知识点六：正方形的判定 的矩形是正方形; 的菱形是正方形。

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