25.(12分)如图，在 中， ，垂足为 ， 是 外角 的平分线， ，垂足为 .

(1)求证：四边形 为矩形.

(2)当 满足什么条件时，四边形 是一个正方形?并给出证明.

第2章 命题与证明检测题参考答案

1.C   解析：因为三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以选项A错误;因

为对角线相等的四边形还有矩形等，所以选项B错误;因为相等的角有很多，不一定都是

对顶角，所以选项D错误.故选C.

2.D   解析：①开方开不尽的数是无理数，但无理数就是开方开不尽的数是错误的，例如 ，故①错误;②一个实数的立方根不光是正数、负数，还可能是0，故②错误;③无理数包括正无理数和负无理数，不包括0，故③错误;④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是l，0或 ，故④错误.故选D.

3.B   解析：利用平行四边形的判定定理知B正确.

4.C   解析：直角梯形有两个角相等，都是90°，但它不是等腰梯形，故选项C是错误的.

5.C   解析：由四边形的两条对角线相等，知顺次连接该四边形各边中点所得的四边形的四条边相等，即所得四边形是菱形.

6.A   解析：∵  是 的垂直平分线， 是 的中点，∴  ，

∴  ，∴ 四边形 是矩形.

∵  ， ， ，∴  ，

∴  ，

∴  ，∴ 四边形 的面积为 .

7.D   解析：①根据作图的过程可知， 是∠ 的平分线，故①正确.

②因为在△ 中，∠ 90°，∠ 30°，所以∠ 60°.

又因为 是∠ 的平分线，所以∠ ∠  ∠ 30°，

所以∠ 90°-∠ 60°，故②正确.

③因为∠ ∠ 30°，所以 ，所以点 在 的中垂线上，故③正确.

④因为在 中，∠ 30°,所以 ，

所以 ，所以 .

因为 ，

所以 ，

所以 ，故④正确.

综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个，故选D.

8.D   解析： 与60°的大小关系有 ， ， 三种情况，因而 的反面是 .因此用反证法证明“ ”时，应先假设 .故选D.

9.A   解析：由题意知 ， ，

10.A   解析：由折叠的性质知 ，则四边形 为正方形，

∴  .

11. 或 或 (答案不唯一)

12.如果 ，那么    假   解析：根据题意知，命题“如果 ，那么 ”的条件是“ ”，结论是“ ”，故逆命题是“如果 ，那么 ”，该命题是假命题.

13. (或 ， 等)

14.5   解析：∵  分别是 和 的角平分线，

∴  ， .

∵  ， ，∴  ， ，

∴  ， ，∴  ，

∴  的周长 .

15.28   解析：由勾股定理得 ，又 ，所以 ，

所以五个小矩形的周长之和为 .

16.2   解析： .

∵ 在等腰梯形 中， ，

∴  .

∵  ,∴  .

∴  .

17. ①②   解析：对于③，因为 ，其中 分别是梯形上底的长、下底的长及高，而梯形中位线 ，所以 ，即梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积.

18.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方    解析：本题是一道开放型题目，只要保证命题是真命题即可.

19.证明：假设 可以互相平分，如图，

连接 ，则四边形 是平行四边形，

∴  ，这与 相矛盾.

∴  不可能互相平分.

20.证明：如果 不都能被3整除，那么有如下两种情况：

(1) 两数中恰有一个能被3整除，

不妨设 能被3整除， 不能被3整除，

令 ( 都是整数)，

于是 ，

不能被3整除，与已知矛盾.

(2) 两数都不能被3整除，令 ( 都是整数)，则

，

不能被3整除，与已知矛盾.

由此可知， 都是3的倍数.

21.证明：∵ 四边形 是平行四边形，∴  ，

∴   ∴  ，故 .

22.(1)证明：由题意知 ，∴  ，∴  .

∵  ，∴  .

又∵  ，∴  ，∴  ，∴ 四边形 是平行四边形 .

(2)解：当 时，四边形 是菱形 .理由如下：

∵  ，∴  .∵  垂直平分 ，∴  .

又∵  ，∴  ，∴  ，∴ 平行四边形 是菱形.

23.证明:∵ 四边形 是平行四边形,∴

∴  .

在 和 中， ，

∴  ，∴  .

24.证明：∵  ，∴ ∠ ∠ .

∵  于点 ，∴ ∠ ∠ ，

∴ ∠ ∠ ∠ ∠ .∴ ∠ ∠ .

∵ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ .∴ △ 是等腰三角形.

25.(1)证明：在△ 中， ， ，∴ ∠ ∠ .

∵  是△ 外角∠ 的平分线，

∴ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠  .

又∵  ， ，∴  ，

∴ 四边形 为矩形.

(2)解：给出正确条件即可.

例如，当 时，四边形 是正方形.

∵  ， 于点 ，∴  .

又∵  ，∴  .

由(1)知四边形 为矩形，∴ 矩形 是正方形.

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