最让我快乐的是什么?是假期，接下来看看威廉希尔app 为大家推荐的九年级数学专题复习规律与猜想试题，即使在家里也能快乐的学习呀!

类型之一  数式的变化规律

例1  (2014•安徽)观察下列关于自然数的等式：

32-4×12=5

52-4×22=9

72-4×32=13

……

根据上述规律解决下列问题：

(1)完成第四个等式：92-4×(  )2=(  );

(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示) ，并验证其正确性.

【思路点拨】(1)从等式的结构看，等于号的左边第一项的底数依次增大2，第二项的底数依次增大1，等于号的右边依次增大4.依次规律就可写出第四个等式;

(2)先根据分析的规律用含n的等式表示出第n个等式，然后将等号的一边经过整理与另一边相同.

【解答】(1)4，17.

(2)(2n+1)2-4×n2=4n+1.

验证：∵左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边，

∴等式成立.

方法归纳：探究等式变化规律的题目，关键把握两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分;二是分析出“变”的规律即 等式的个数之间存在的规律.

1.(2014•东营)将自然数按以下规律排列：

表中数2在第二行，第一列，与有序数对(2，1)对应;数5与( 1，3)对应;数14与(3，4)对应;根据这一规律，数2 014对应的有序数对为          .

2.(2014•菏泽)下面是一个按某种规律排列的数阵：

根据数阵排列的规律，第n行(n是整数，且n≥3)从左至右数第n-2个数是          (用含n的代数式表示).

3.(2014•滨州)计算下列各式的值：

; ; ; .

观察所得结果，总结存在的规律，运用得到 的规律可得 =          .

4.(2014•巴中)如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的!“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了(a+b)n(n为非负整数)的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数.例如，(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字;再如，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出(a-b)4的展开 式为                    .

5.(2014•黄石)观察下列等式：

第一个等式：a1= = -

第二个等式：a2= = -

第三个等式：a3= = -

第四个等式：a4= =1 -

按上述规律，回答以下问题：

用含n的代数式表示第n个等式：

an=          =          ;式子a1+a2+a3+…+a20=          .

6.(2014•烟台)将一组数 ， ，3,2 , ,…，3 ，按下面的方法进行排列：

若2 的位置记为(1，4)，2 的位置记为 (2，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为(     )

A.(5，2)                B.(5，3)              C.(6，2)                  D.(6，5)

类型之二  图形的变化规律

例2  (2014•金华)一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接.

(1)若 把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人?

(2)若有餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张?

【思路点拨】由拼图可知，每多拼一张餐桌，可坐的人数就增多4人，依次规律可探究出餐桌的个数与可坐人数之间的关系.从而就可解决问题.

【解答】(1)根据图中的规律我们可以发现，每多拼接一张餐桌，可坐的人数就增多4人.

即：拼接x张餐桌可以就餐的人数为：6+4(x-1)=4x+2(人).

所以，拼4张可以坐4×4+2=18(人)，拼8张可以坐4×8+2=34(人).

(2)由题意可知

4x+2=90.解得x=22.

答：这样的餐桌需要拼接22张.

方法归纳：当图形在变换时，图形的个数与对应的另一个变换的量的关系很难直接观察出规律时，可以通过建立这两个变量之间的函数关系，利用已知的几对对应值求出函数关系式，然后去论证.

1.(2014•重庆A卷)如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有9个，……，按此规律，则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为(     )

A.20                 B.27                  C.35                   D.40

2.(2014•武汉)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图片共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是(     )

A.31               B.46                   C.51                D.66

3.(2014•重庆B卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，……，依此规律，第五个图形中三角形的个数是(     )

A.22                 B.24                C.26                  D.28

4.(2014•宜宾)如图，将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A1,A2，…,An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是(     )

A.n                 B.n-1                  C.( )n-1                        D. n

5.(2014•鄂州)如图，四边形ABCD中，AC=a,BD=b,且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的是(     )

①四边形A4B4C4D4是菱形;②四边形A3B3C3D3是矩形;③四边形A7B7C7D7周长为 ;④四边形AnBnCnDn面积为 .

A.①②③                   B.②③④                C.①③④                    D.①②③④

6.(2014•内江)如图，已知A1、A2、……、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=……=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、……、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、……、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、……、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、……、Pn，△A1B1P1、△A2B2P2、……、△AnBnPn的面积依次为S1、S2、……、Sn，则Sn为(     )

A.                 B.             C.               D.

7.(2014•内江)如图所示，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2 014个图形是          .

△△□□□△○○□ □□△○○□□□△○○□……

8.(2014•娄底)如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n(n为正整数)个图案由          个▲组成.

9.(2014•盐城)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn的值为          .(用含n的代数式表示，n为正整数)

类型之三  点的坐标的变化规律

例3  (2014•泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A( ,0),B(0,4),则点B2 014的横坐标为     .

【思路点拨】先根据勾股定理求出AB的长度，再根据第4个图形与第1个图形的位置相同，可知每三个三角形为一个循环依次循环，然后求出每个循环组中B点坐标的变化规律即可.

【解答】由题意可得：∵AO= ，BO=4，

∴AB= ，

∴OA+AB1+B1C2= + +4=6+4=10，

∴B2的横坐标为10，B4的横坐标为2×10=20，

∴点B2 014的横坐标为： ×10 =10 070.

故答案为：10 070.

方法归纳：由于图形在坐标系中的运动而导致的点的坐标的变化情况，先应该分析图形的运动规律，然后结合点在图形中的位置找出点的坐标的变化规律.

1.如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形.若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2 014的坐标为          .

2.(2013•湛江)如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是          ，A22的坐标是          .

3.(2014•孝感)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置.点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是          .

4.(2014•德州)如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依 次为A1，A2，A3，…An ，….将抛物线y=x2沿直线l：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：

①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线l：y=x上;

②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…An，….

则顶点M2 014的坐标为          .

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