∵四边形ABME是矩形，

∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，

∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.

∵∠AGB=∠EPA=90°，

∴△ABG∽△EAP，∴AGEP = ABEA.

同理△ACG∽△FAQ，∴AGFP = ACFA.

∵AB= k AE，AC= k AF，∴ABEA = ACFA = k，

∴AGEP = AGFP. ∴EP=FQ.

∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF.

【点评】此题属于探究型问题，考查了三角形全等、相似方面的知识。解决探究型问题时要认真审题，充分利用转化、类比等方法找到小题之间的内在联系，找到解题思路.难度中等.

如图15，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.

⑴求该抛物线的解析式;

⑵抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标;若不存在，说明理由;

⑶在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标;若不存在，说明理由.

【解题思路】(1)把A、B、C三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解出a、b、cj即可;因为A、B是抛物线与x轴的交点，也可以把抛物线设成y=a(x+1)(x-3)，然后代入C得坐标。

(2)若使△QMB与△PMB的面积相等，须等底等高，因此考虑和BC平行的直线PQ和l，求出它们的解析式，在求它们与二次函数的交点，就是点Q的坐标;

(3)(图b)要使△RPM与△RMB的面积相等，须等底等高，MR要是底的话，点P、B到MR的距离PN抽查(图中没有画出来)=BD，易证三角形PNE与三角形BDE全等，因此PE=BE，点M为PF的中点，E为PB的中点，因此ME与x轴平行，点M与N重合，把y=2代入二次函数即可求点R的横坐标(舍掉不符合题意的那个)。

【答案】(1)依题可知   解得  所以抛物线的解析式为y= -x2+2x+3

(2)(图a)y= -x2+2x+3可变形为 ，所以顶点坐标P(1,4)

设 BC的解析式为 ∵B(3，0)、C(0，3)∴    ∴    ∴

∴点M的纵坐标y=-1+3=2，即M(1,2)设对称轴与x轴的交点为F，∴PM=MF，∴S△PMB=S△FMB

∵△QMB与△PMB的面积相等，∴点Q在过点P且平行于BC的直线a上或过点F且平行于BC的直线b上，

设a的解析式为 ，则 ，即 ，∴

设b的解析式为 ，则 ，即 ，∴

设a与抛物线相交于Q(m，-m+5)，b与抛物线的交点Q’(n，-n+1)，则

解得         解得

，∴点Q’的坐标为

综上，满足条件的Q的坐标有三个，分别是(2，3)、 、

(3)存在，点R的坐标为( ，2).

【点评】第一问灵活地考查二次函数解析式的求法——待定系数法，两种方法难度较小;第二问难度较大，不容易想到第二个和第三个Q，利用到等底等高的两个三角形面积相等，很自然地想到平行线间的距离相等.求BC的两条平行线的解析式时，要用到“在坐标系中，平行线的k值相等”.求交点的方法就是连方程组 ，解方程组.难度较大.第三问是拔高题.

已知：如图1，图形① 满足AD=AB，M D=MB，∠A=72°，∠M=144°。图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图2)。记AB的长度为 ，BM的长度为

⑴图形①中∠B=          °，图形②中∠E=          °;

⑵小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”;另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”。

①小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为 的正十边形，需要这种纸片        张;

②小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图3)，其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ= ，I Q=JQ。请你在 图3中画出拼接线并保留画图痕迹不。(本题中均为无重叠、无缝隙拼接)

【解题思路】(1)连接AM，易证△ADM≌△ABM,得∠D=∠B,由∠D+∠B=3600-72 0-1440=1440,所以∠D=∠B=720，由平行线的性质可求∠E=360;(2)①用5个“风筝一号”纸片拼成一个边长为 的正十边形;②这是一道操作题，可根据图形的特点找到拼接方法。

【解答】(1)∠B=720，∠E=360;(2)①5;②如图

【点评】本题的操作性较强，对于初中学生来说，难度较大。

某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：

(1)有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比;

(2)有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比;

…

现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用 上述结论.(S表示面积)

问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC.经探究知

，请证明.

问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC.请探究 与S四边形ABCD之间的数量关系.

问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC.

若S四边形ABCD=1，求

问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4.请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式.

【解题思路】对于问题1，由结论(2)，可以分别求出S S△ABC =19 ，S S△ABC =49 ，两式相减可得结论; 对于问题2，连接Q1R1，Q2R2，由问题1结论，可得 + =13 S四边形ABCD，又可证 = ，即得， =13 S四边形ABCD;对于问题3，利用问题2的结论，可探求其结果。对于问题4，由问题2的结论，知3 S2= S1+S2+S3，

3 S3 = S2+S3+S4，两式相加，得S1+S4=S2+S3.

【答案】解：问题1：方法1：由结论(2)，可得S S△ABC =19 ，S S△ABC =49 ，

∴ =4-19 S△ABC=13 S△ABC

方法2：∵P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC，

∴P1R1∥P2R2∥BC.∴△AP1 R1∽△AP2R2∽△ABC，且面积比为1:4:9.

∴ =4-19 S△ABC=13 S△ABC

问题2：连接Q1R1，Q2R2，如图，由问题1的结论，可知

∴ =13 S△ABC ， =13 S△ACD

∴ + =13 S四边形ABCD

由∵P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC，Q1，Q2三等分边DC，

可得P1R1:P2R2=Q2R2:Q1R1=1:2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1.

∴∠P1R1A=∠P2R2A，∠Q1R1A=∠Q2R2A.∴∠P1R1Q1=∠P2R2 Q2.

由结论(2)，可知 = .

∴ = + =13 S四边形ABCD.

问题3：设 =A， =B，设 =C，

由问题2的结论，可知A=13  ，B=13  .

A+B=13 (S四边形ABCD+C)=13 (1+C).

又∵C=13 (A+B+C)，即C=13 [13 (1+C)+C].

整理得C=15 ，即 =15