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2016-10-08
四、本大题共2小题,每小题8分,共16分
17.已知抛物线y=﹣ + 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,若点D是AB的中点,求CD的长.
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】令y=0,则﹣ x2+ x+6=0,由此得到A、B两点坐标,由D为AB的中点,求出OD的长,x=0时,y=6,所以OC=6,根据勾股定理求出CD即可.
【解答】解:当y=0,即﹣ x2+ x+6=0,解得:x1=﹣3,x2=12;
设A、B两点坐标分别为(﹣3,0)(12,0)
∵D为AB的中点,
∴D(4.5,0),
∴OD=4.5,
当x=0时,y=6,
∴OC=6,
由勾股定理,得:CD= .
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性,求出AB中点D的坐标是解决问题的关键.
18.如图是一座抛物线拱形桥,在正常水位时,水面AB宽是20m,水位上升3m就达到警戒线CD,这是水面宽度为10m,请构建适当的水平直角坐标系求抛物线所对应的函数表达式,并求水位到达警戒线时拱顶与水面之间的距离.
【考点】二次函数的应用.
【分析】以拱桥最顶端为原点,建立直角坐标系,根据题目中所给的数据求出函数解析式即可.
【解答】解:解立如图所示的平面直角坐标系,
设抛物线解析式为y=ax2,
因为抛物线关于y轴对称,AB=20,所以点B的横坐标为10,
设点B(10,n),点D(5,n+3),
由题意: ,
解得 ,
∴y=﹣ x2.
∴n+3=﹣1,
∴水位到达警戒线时拱顶与水面之间的距离为1m.
【点评】此题考查了二次函数的应用,用待定系数法求二次函数的解析式,解题关键是建立适当的平面直角坐标系.
五、本大题共2小题,每小题12分,共20分
19.如图,O,B,C三点均在二次函数y= 的图象上,点O为坐标原点,四边形OBAC为菱形,且∠OBA=120°,试求菱形OBAC的面积.
【考点】菱形的性质;二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】连接BC交OA于D,如图,根据菱形的性质得BC⊥OA,∠OBD=60°,利用含30度的直角三角形三边的关系得OD= BD,设BD=t,则OD= t,B(t, t),利用二次函数图象上点的坐标特征得 t2= t,解得t1=0(舍去),t2=1,则BD=1,OD= ,然后根据菱形性质得BC=2BD=2,OA=2OD=2 ,再利用菱形面积公式计算即可.
【解答】解:连接BC交OA于D,如图,
∵四边形OBAC为菱形,
∴BC⊥OA,
∵∠OBA=120°,
∴∠OBD=60°,
∴OD= BD,
设BD=t,则OD= t,
∴B(t, t),
把B(t, t)代入y= x2得 t2= t,解得t1=0(舍去),t2=1,
∴BD=1,OD= ,
∴BC=2BD=2,OA=2OD=2 ,
∴菱形OBAC的面积= ×2×2 =2 .
故答案为2 .
标签:数学试卷
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