25.(8分)(2011•遂宁)如图：抛物线y=ax2﹣4ax+m与x 轴交于A、B两点，点A的坐标是(1，0)，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;

(2)过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式;

(3)在(2)的条件下，设抛物线的顶点为G，连接BG、CG、求△BCG的面积.

考点： 二次函数综合题.

专题： 压轴题.

分析： (1)由抛物线y=ax2﹣4ax+m的对称轴公式x=﹣ ，即可求得其对称轴，又由点A、B关于对称轴对称，即可求得点B的坐标;

(2)由点A(1，0)，B(3，0)，求得AB的值，又由CP⊥对称轴，可得CP∥AB，易证得四边形ABPC是平行四边形，然后设点C(0，x)(x<0)，证得△BPD∽△BCP，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值，又由二次函数过点A与C，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式;

(3)首先由解析式，即可求得抛物线顶点G坐标，然后设CG的解析式是：y=kx+b，利用待定系数法即可求得CG的解析式，则可求得H的坐标，又由S△BCG=S△BHG+S△BHC，即可求得△BCG的面积.

解答： 解：(1)对称轴是x=﹣ =2，…(2分)

∵点A(1，0)且点A、B关于x=2对称，

∴点B(3，0);…(4分)(2)点A(1，0)，B(3，0)，

∴AB=2，

∵CP⊥对称轴于P，

∴CP∥AB，

∵对称轴是x=2，

∴AB∥CP且AB=CP，

∴四边形ABPC是平行四边形，…(5分)

设点C(0，x)(x<0)，

在Rt△AOC中，AC= ，

∴BP= ，

在Rt△BOC中，BC= ，

∵ ，

∴BD=  ，

∵∠BPD=∠BCP 且∠PBD=∠CBP，

∴△BPD∽△BCP，…(7分)

∴BP2=BD•BC，

即 ，

∴ ，

∴x1= ，x2=﹣ ，

∵点C在y轴的负半轴上，

∴点C(0， )，…(8分)

∴y=ax2﹣4ax﹣ ，

∵过点(1，0)，

∴a﹣4a﹣ =0，

解得：a=﹣ .

∴解析式是：y=﹣ x2+ x﹣ ;…(9分)(3)当x=2时，y= ，

顶点坐标G是(2， )，…(10分)

设CG的解析式是：y=kx+b，

∵过点(0， )(2， )，

∴ ，

∴y= x﹣ ，…(11分)

设CG与x轴的交点为H，

令y=0，则 x﹣ =0，

得x= ，

即H( ，0)，…(11分)

∴BH=3﹣ = ，

∴S△BCG=S△BHG+S△BHC= = = …(13分)

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