2014年中考数学押题卷

(1) 求抛物线的表达式;

(2) 设抛 物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积;

(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物 线交于点F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似?若存在，求点E的坐标;若不存在，请说明理由.

分析 (1)已知抛物线的顶点，可先将抛物线的解析式设为顶点式，再将点C的坐标代入上面的解析式中，即可确定待定系数的值，由此得解.

(2)可先求出A、C、D三点坐标，求出△ACD的三边长后，可判断出该三角形的形状 ，进而得到该三角形的面积.(也可将△ACD的面积视为梯形与两个小直角三角形的面积差)

(3)由于直线EF与y轴平行，那么∠OCB=∠FED，若△OBC和△EFD相似，则△EFD中，∠EDF和∠EFD中必有一角是直角，可据此求出点F的横坐标，再代入直线BC的解析式中，即可求出点E的坐标.

解答 解：(1)依题意，设抛物线的解析式为 y=a(x﹣2)2﹣1，代入C(O，3)后，得：

a(0﹣2)2﹣1=3，a=1

∴抛物线的解析式：y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣ 4x+3.

(2)由(1)知，A(1，0)、B(3，0);

设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：

3k+3=0，k=﹣1

∴直线BC：y=﹣x+3;

由(1)  知：抛物线的对称轴：x=2，则 D(2，1);

∴AD2=2，AC2=10，CD2=8

即：A C2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD;

∴S△ACD= AD•CD= × ×2 =2 .

(3)由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：

①∠DFE=90°，即 DF∥x轴;

将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：

x 2﹣4x+3=1，解得 x=2± ;

当x=2+ 时，y=﹣x+3=1﹣ ;

当x=2﹣ 时，y=﹣x+3=1+ ;

∴E1(2+ ，1﹣ )、E2(2﹣ ，1+ ).

②∠EDF=90°;

易知，直线AD：y =x﹣1，联立抛物线的解析式有：

x 2﹣4x+3=x﹣1，解得 x1=1、x2=4;

当x=1时，y=﹣x+3=2;

当x=4时，y=﹣x+3=﹣1;

∴E3(1，2)、E4(4，﹣1);

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