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 2013年湖北中考数学方程(组)试题分类解析

一、选择题

1. (2012湖北武汉3分)在数轴上表示不等式x-1<0的解集，正确的是【 】

【答案】B。

【考点】在数轴上表示不等式的解集。

【分析】不等式的解集在数轴上表示的方法：>，≥向右画;<，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示;“<”，“>”要用空心圆点表示。因此，因为x-1<0的解集为x<1，它在数轴上表示正确的是B。故选B。

2. (2012湖北武汉3分)若x1、x2是一元二次方程x2-3x+2=0的两根，则x1+x2的值是【 】

A.-2 B.2 C.3 D.1

【答案】C。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=3。故选C。

3. (2012湖北荆门3分)用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【 】

A.(x﹣1)2=4 B.(x+1)2=4 C.(x﹣1)2=16 D.(x+1)2=16

【答案】A。

【考点】配方法。

【分析】把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=3+1，

即(x﹣1)2=4。故选A。

4. (2012湖北荆门3分)已知点M(1﹣2m，m﹣1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是【 】

A. B. C. D.

【答案】A。

【考点】关于x轴对称的点坐标的特征，平面直角坐标系中各象限点的特征，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为：(1﹣2m，1﹣m)，

又∵M(1﹣2m，m﹣1)关于x轴的对称点在第一象限，

∴ ，解得： ，在数轴上表示为： 。故选A。

5. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是【 】

A. B. C. D.

【答案】C。

【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。因此，

由2x<4得x<2，∴不等式组的解集为﹣1≤x<2。

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>，≥向右画;<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个。在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示;“<”，“>”要用空心圆点表示。因此，

不等式组的解集在数轴上表示为： 。故选C。

6. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【 】

A.3 B.﹣3 C.13 D.﹣13

【答案】B。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，

∴x1+x2=﹣4，x1x2=a。

∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2(x1+x2)﹣5=a﹣2×(﹣4)﹣5=0，即a+3=0，

解得，a=﹣3。故选B。

7. (2012湖北恩施3分)某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高【 】

A.40% B.33.4% C.33.3% D.30%

【答案】B。

【考点】一元一次不等式的应用。

【分析】设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为(1+x)b元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ab元，但在售出时，大樱桃只剩下(1﹣10%)a千克，售货款为(1﹣10%)a(1+x)b=0.9a(1+x)b元，根据公式：利润率=(售货款-进货款)÷进货款×100%可列出不等式：

[0.9a(1+x)b-ab]÷ab•100%≥20%，解得x≥ 。

∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%。

故选B。

8. (2012湖北咸宁3分)不等式组 的解集在数轴上表示为【 】.

【答案】C。

【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。因此，

由①得，x>1，由②得，x<2，故此不等式组的解集为：1

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>，≥向右画;<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个。在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示;“<”，“>”要用空心圆点表示。因此，不等式的解集在数轴上表示为： 。故选C。

9. (2012湖北荆州3分)用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【 】

A.(x﹣1)2=4 B.(x+1)2=4 C.(x﹣1)2=16 D.(x+1)2=16

【答案】A。

【考点】配方法。

【分析】把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=3+1，

即(x﹣1)2=4。故选A。

10. (2012湖北随州4分)分式方程 的解是【 】

A.v=-20 B. v =5 C. v =-5 D. v =20

【答案】B。

【考点】解分式方程。

【分析】观察可得最简公分母是(20+v)(20-v)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解：

方程的两边同乘(20+v)(20-v)，得100(20-v)=60(20+v)，解得：v=5。

检验：把v=5代入(20+v)(20-v)=375≠0，即v=5是原分式方程的解。故选B。

11. (2012湖北随州4分)若不等式组 的解集为2

A. -2，3 B.2， -3 C.3，-2 D.-3，2

【答案】A。

【考点】解一元一次不等式组

【分析】∵解不等式x-b<0得：x

∴不等式组的解集是：-a

∵不等式组 解集为2

12. (2012湖北孝感3分)若关于x的一元一次不等式组 无解，则a的取值范围是【 】

A.a≥1 B.a>1 C.a≤-1 D.a<-1

【答案】A。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解出两个不等式，再根据“大大小小找不到”的原则解答即可：

，由①得：x>a，由②得：x<1。

∵不等式组无解，∴a≥1。故选A。

13. (2012湖北襄阳3分)若不等式组 有解，则a的取值范围是【 】

A.a≤3 B.a<3 C.a<2 D.a≤2

【答案】B。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】先求出不等式的解集，再不等式组有解根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)”即可得到关于a的不等式，求出a的取值范围即可：

由 得，x>a﹣1;由 得，x≤2。

∵此不等式组有解，∴a﹣1<2，解得a<3。故选B。

14. (2012湖北襄阳3分)如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【 】

A.k< B.k< 且k≠0 C.﹣ ≤k< D.﹣ ≤k< 且k≠0

【答案】D。

【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。

【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0;根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0;根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k>0。三者联立，解得﹣ ≤k< 且k≠0。

故选D。

二、填空题

1. (2012湖北黄石3分)若关于x的不等式组 有实数解，则a的取值范围是 ▲ .

【答案】a<4。

【考点】解一元一次不等式组

【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组有实数解(同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解))即可得到关于a的不等式，求出a的取值范围即可：

由2x>3x-3得，x<3，由3x-a>5得，x> ，

∵此不等式组有实数解，∴ <3，解得a<4。

2. (2012湖北黄石3分)“数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时候就能在课堂上快速

的计算出 ，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：

令 ①

②

①+②：有 解得：

请类比以上做法，回答下列问题：

若n为正整数， ，则 ▲ .

【答案】12。

【考点】分类归纳(数学的变化类)，有理数的混合运算，解一元二次方程。

【分析】根据题目提供的信息，找出规律，列出方程求解即可：

设S=3+5+7+…+(2n+1)=168①，

则S=(2n+1)+…+7+5+3=168②，

①+②得，2S=n(2n+1+3)=2×168，

整理得，n2+2n-168=0，解得n1=12，n2=-14(舍去)。

∴n=12。

3. (2012湖北荆门3分)新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”.若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程 的解为　 ▲ 　.

【答案】x=3。

【考点】新定义，一次函数和正比例函数的定义，解分式方程。

【分析】根据新定义得：y=x+m-2，

∵“关联数”[1，m-2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2=0，解得：m=2。

则关于x的方程 即为 ，解得：x=3。

检验：把x=3代入最简公分母2(x﹣1)=4≠0，故x=3是原分式方程的解。

4. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)学校举行“大家唱大家跳”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，全校师生一共表演了30个节目，其中歌唱类节目比舞蹈类节目的3倍少2个，则全校师生表演的歌唱类节目有　 ▲ 　个.

【答案】22

【考点】一元一次方程的应用。

【分析】设歌唱类节目有x个，则舞蹈类节目有30-x个。由等量关系：歌唱类节目比舞蹈类节目的3倍少2个，可得x=2(30-x)-2，解得：x=22，即歌唱类节目有22个。

5. (2012湖北恩施4分)如图，直线 经过A(3，1)和B(6，0)两点，则不等式组

0

【答案】3

【考点】一次函数与一元一次不等式，不等式组的图象解法。

【分析】如图，作 的图象， 知 经过A(3，1)。

则不等式组0

∴3

6. (2012湖北咸宁3分)某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020

元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需 ▲ 元.

【答案】1100。

【考点】二元一次方程组的应用

【分析】方程(组)的应用解题关键是找出等量关系，列出方程(组)求解。本题等量关系为：

3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元。

设一个单人间需要x元，一个双人间需要y元，则

。

化简①得：x+2y=340③，

②-③得：3y=360，y=120。

把y=120代入③得：x=100。

∴5(x+y)=1100。

7. (2012湖北孝感3分)2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦

举行，奥运会的年份与届数如下表所示：

年份 1896 1900 1904 … 2012

届数 1 2 3 … n

表中n的值等于 ▲ .

【答案】30。

【考点】分类归纳(数字的变化类)。

【分析】寻找规律：

第1届相应的举办年份=1896+4×(1-1)=1892+4×1=1896年;

第2届相应的举办年份=1896+4×(2-1)=1892+4×2=1900年;

第3届相应的举办年份=1896+4×(3-1)=1892+4×3=1904年;

…

第n届相应的举办年份=1896+4×(n-1)=1892+4n年。

∴由1892+4n=2012解得n=30。

8. (2012湖北襄阳3分)分式方程 的解是　 ▲ 　.

【答案】x=2。

【考点】解分式方程。1028458

【分析】观察可得最简公分母是x(x+3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解：

方程的两边同乘x(x+3)，得2(x+3)=5x，解得x=2。

检验：把x=2代入x(x+3)=10≠0，即x=2是原分式方程的解。

∴原方程的解为：x=2。

9. (2012湖北鄂州3分)设x1、x2是一元二次方程x2+5x-3=0的两个实根，且 ，则a= ▲ .

【答案】10。

【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。

【分析】∵x1、x2是一元二次方程x2+5x-3=0的两个实根，∴x22+5x2-3=0，x1x2=-3。

又∵ ，即 ，即 。

∴ ，即 ，解得a=10。

10. (2012湖北鄂州3分)若关于x的不等式组 的解集为x<2，则a的取值范围是 ▲ .

【答案】a≤-2。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。因此，

解 得x<2;解 得x<-a。

∵关于x的不等式组的解集为x<2，∴-a≥2，即a≤-2。

三、解答题

1. (2012湖北武汉6分))解方程 2 x+5 = 1 3x .

【答案】解：去分母，得6x=x+5，∴x=1。

经检验x=1确为方程的根。

∴原方程的解为x=1。

【考点】解分式方程，公式法解一元二次方程。

【分析】因为方程最简公分母为：6x(x+5)。故方程两边乘以6x(x+5)，化为整式方程后求解。

2. (2012湖北黄石8分)解方程组：

【答案】解：依题意：

将①代入②中化简得：x2+2x-3=0 ，解得：x=-3或x=1。

当 x=-3时， ;当 x=1时，y=0。

∴原方程组的解为： 或 。

【考点】解高次方程组，因式分解法一元二次方程。

【分析】把方程①变形成 ，代入方程②，即可消去y，得到关于x的方程，解得x的值，从而求得y的值。

3. (2012湖北宜昌6分)解下列不等式：2x﹣5≤2( ﹣3)

【答案】解：去括号得2x﹣5≤x﹣6，

移项得，2x﹣x≤﹣6+5，

合并同类项，系数化为1得x≤﹣1。

【考点】解一元一次不等式。

【分析】先去括号，再移项，合并同类项系数化为1即可得出结论。

4. (2012湖北宜昌10分)[背景资料]低碳生活的理念已逐步被人们接受.据相关资料统计：

一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18kg;

一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6kg.

[问题解决]

甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”、“少买衣服”的倡议.2009年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排二氧化碳总量为600kg.

(1)2009年两校响应本校倡议的人数分别是多少?

(2)2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量;乙校响应本校倡议的人数每年按相同的百分率增长.2010年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍;2011年两校响应本校倡议的总人数比2010年两校响应本校倡议的总人数多100人.求2011年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量.

【答案】解：(1)设2009年甲校响应本校倡议的人数为x人，乙校响应本校倡议的人数为(60﹣x)人。

依题意得：18x+6(60﹣x)=600。

解之得：x=20，60﹣x=40。

∴2009年两校响应本校倡议的人数分别是20人和40人.

(2)设2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加m人;乙校响应本校倡议的人数每年增长的百分率为n。依题意得：

由①得m=20n，代入②并整理得2n2+3n﹣5=0

解之得n=1，n=﹣2.5(负值舍去)。∴m=20。

∴2011年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量：

(20+2×20)×18+40(1+1)2×6=2040(千克)。

答：2011年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量为2040千克。

【考点】一元一次方程和二元一次方程组的应用。141

【分析】(1)设2009年甲校响应本校倡议的人数为x人，乙校响应本校倡议的人数为60﹣x人，根据题意列出方程求解即可。

(2)设2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加m人;乙校响应本校倡议的人数每年增长的百分率为n.根据题目中的人数的增长率之间的关系列出方程组求解即可。

5. (2012湖北咸宁8分)解方程： .

【答案】解：原方程即： ，

方程两边同时乘以 ，得 ，

化简，得 ，解得 。

检验： 时， ， 不是原分式方程的解。

∴原分式方程无解。

【考点】解分式方程。

【分析】观察可得最简公分母是(x+2)(x-2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，最后检验，得出结果。

6. (2012湖北黄冈5分)解不等式组

【答案】解： ，

由①得：x< ，由②得：x≥-2，

∴不等式组的解集为：-2≤x< 。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。

7. (2012湖北黄冈6分)某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800 件投入市场，服装厂有A、B 两

个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B车间的1.2 倍，A、B 两车间共同完成一半后，A 车间出现故

障停产，剩下全部由B 车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A、B 两车间每天分别能加工多少件.

【答案】解：设B车间每天能加工x件，则A车间每天能加工1.2x件，由题意得：

，解得：x=320。

经检验：x=320是原分式方程的解。

1.2×320=384。

答：A车间每天能加工384件，B车间每天能加工320件。

【考点】分式方程的应用。

【分析】设B车间每天能加工x件，则A车间每天能加工1.2x件，由题意可得等量关系：A、B两车间生产4400件所用的时间+B两车间生产4400件所用的时间=20天，由等量关系可列出方程，解方程可得答案。

8. (2012湖北十堰8分)一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶60千米后，再以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40分钟到达目的地，求原计划的行驶速度.

【答案】解：设原计划的行驶速度为x千米/时，则：

，

解得x=60，

经检验：x=60是原方程的解，且符合题意。

所以x=60。

答：原计划的行驶速度为60千米/时。

【考点】分式方程的应用。

【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：

实际用时-计划用时= 小时。

9. (2012湖北十堰10分)某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购买甲、乙两种材料.生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克;生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克.经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元.

(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元?

(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种?

(3)在(2)的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低?(成本=材料费+加工费)

【答案】解：(1)设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，则

，解得 。

答：甲材料每千克15元，乙材料每千克25元;

(2)设生产A产品m件，生产B产品(50-m)件，则生产这50件产品的材料费为

15×30m+25×10m+15×20×(50-m)+25×20×(50-m)=-100m+40000，

由题意： ，解得20≤m≤22。

又∵m是整数，∴m的值为20， 21，22。

∴共有三种方案，如下表：

A(件) 20 21 22

B(件) 30 29 28

(3)设总生产成本为W元，加工费为：200m+300(50-m)，

则W=-100m+40000+200m+300(50-m)=-200m+55000，

∵-200<0，∴W 随m的增大而减小。

而m=20，21，22，∴当m=22时，总成本最低，此时W=-200×22+55000=50600(元)。

【考点】二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用。

【分析】(1)设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40

元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元，可列出方程组 ，解方程组即

可得到甲材料每千克15元，乙材料每千克25元;

(2)设生产A产品m件，生产B产品(50-m)件，先表示出生产这50件产品的材料费，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元得到-100m+40000≤38000，根据生产B产品不少于28件得到50-m≥28，然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m为整数，则m的值为20，21，22，易得符合条件的生产方案。

(3)设总生产成本为W元，加工费为：200m+300(50-m)，根据成本=材料费+加工费得到

W关于m的函数关系式，根据一次函数的性质得到W 随m的增大而减小，然后把m=22代入计算，即可得到最低成本。

10. (2012湖北孝感12分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.

(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根;

(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1-x2|=2 ，求m的值和此时方程的两根.

【答案】解：(1)证明：由关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0得

△=(m+3)2-4(m+1)=(m+1)2+4，

∵无论m取何值，(m+1)2+4恒大于0，

∴原方程总有两个不相等的实数根。

(2)∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=-(m+3)，x1•x2=m+1。

∵|x1-x2|=2 ， ∴(x1-x2)2=8，即(x1+x2)2-4x1x2=8。

∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8，即m2+2m-3=0。

解得：m1=-3，m2=1。

当m=-3时，原方程化为：x2-2=0，解得：x1= ，x2=- 。

当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得：x1=-2+ ，x2=-2- 。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】(1)根据关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0的根的判别式△=b2-4ac的符号来判定该方程的根的情况。

(2)根据根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2，由已知条件|x1-x2|=2 平方后可以得到关于x1+x2和x1•x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。

11. (2012湖北襄阳6分)为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米?(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)

【答案】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得(30﹣2x)(20﹣x)=532.

整理，得x2﹣35x+34=0，解得，x1=1，x2=34。

∵34>30(不合题意，舍去)，∴x=1。

答：小道进出口的宽度应为1米。

【考点】一元二次方程的应用(几何问题)。1028458

【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可。

12. (2012湖北鄂州8分)关于x的一元二次方程 .

(1)证明：方程总有两个不相等的实数根;

(2)设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|-2，求m的值及方程的根。 

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