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 2013年四边形中考数学题解析

一、选择题

1. (2012福建宁德4分)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD

的各边上，EF∥HG，EH∥FG，则四边形EFGH的周长是【 】

A.10 B.13 C.210 D.213

【答案】D。

【考点】矩形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，∴ 。

又∵点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥HG，EH∥FG，

∴不妨取特例，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边的中点，满足EF∥HG，EH∥FG。

∴CG=x，CF= ，∴FG= 。∴四边形EFGH的周长是 。故选D。

对于一般情况，可设CG=x，则CF= x，DG=2-x，BF=3- x。

由△CFG∽△CBD得 ，即 ，∴ 。

由△BEF∽△BAC得 ，即 ，∴ 。

∴四边形EFGH的周长是2(EF+EG)= 。

2. (2012福建厦门3分)如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC=50°，则∠ABC等于【 】

A.40° B.50° C.80° D.100°

【答案】C。

【考点】菱形的性质，平行的性质。

【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC= ∠BAD，CB∥AD。

∵∠BAC=50°，∴∠BAD=100°。

∵CB∥AD，∴∠ABC+∠BAD=180°。

∴∠ABC=180°-100°=80°。故选C。

3. (2012福建漳州4分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80o，则∠D的度数是【 】

A.120o B.110o C.100o D.80o

【答案】C。

【考点】等腰梯形的性质，平行的性质。

【分析】∵AD∥BC，∠B=80°，∴∠A=180°-∠B=180°-80°=100°。

∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠D=∠A=100°。故选C。

二、填空题

1. (2012福建厦门4分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC 与BD相交于点O，若OB=3，则OC= ▲ .

【答案】3。

【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。

【分析】∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，

在△ABC与△DCB中，∵ AB=CD，∠ABC=∠BCD ，BC=BC ∴△ABC≌△DCB(SAS)。

∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3。

2. (2012福建宁德3分)如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6cm，则AB= ▲ cm.

【答案】12。

【考点】菱形的性质，三角形中位线定理。

【分析】∵点E、F分别是BD、CD的中点，∴EF= BC=6。

∴BC=12。

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC。

∴AB =12。

三、解答题

1. (2012福建厦门10分)已知 ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分

别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF.

(1)如图，若PE=3，EO=1，求∠EPF的度数;

(2)若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF =BC+32-4，求BC的长.

【答案】解：(1)连接PO ,

∵ PE=PF，PO=PO，PE⊥AC、PF⊥BD，

∴ Rt△PEO≌Rt△PFO(HL)。

∴∠EPO=∠FPO。

在Rt△PEO中， tan∠EPO=EOPE=33，

∴ ∠EPO=30°。∴ ∠EPF=60°。

(2)∵点P是AD的中点，∴ AP=DP。

又∵ PE=PF，∴ Rt△PEA≌Rt△PFD(HL)。

∴∠OAD=∠ODA。∴ OA=OD。

∴ AC=2OA=2OD=BD。∴ ABCD是矩形。

∵ 点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴ AO∥PF。

∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD。∴ ABCD是菱形。∴ ABCD是正方形。

∴ BD=2BC。

∵ BF=34BD，∴BC+32-4=324BC，解得，BC=4。

【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】(1)连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解。

(2)根据条件证出 ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。

2. (2012福建莆田8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC.

(1)(4分)请根据以下语句画图，并标上相应的字母(用黑色字迹的钢笔或签字笔画).

①过点A画AE⊥BC于点E;

②过点C画CF∥AE，交AD于点F;

(2)(4分)在完成(1)后的图形中(不再添加其它线段和字母)，请你找出一对全等三角形，并予以证明.

【答案】解：(1)画图如下：

(2)△ABC≌△CDA 。证明如下：

∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=CD，BC=DA。

又∵ AC=CA，∴△ABC≌△CDA(SSS)。

3. (2012福建南平8分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件.使四边形AECF是平行四边形，并予以证明，

备选条件：AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD，

我选择添加的条件是：

(注意：请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中，画出符合要求的示意图，并加以证明)

【答案】解：添加的条件可以是BE=DF(答案不唯一)。证明如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC。

∵BE=DF，∴AF=CE，即AF=CE，AF∥CE。

∴四边形AECF是平行四边形。

【考点】平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行的判定和性质。

【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出AF∥CE，AF=CE，根据平行四边形的判定推出即可。

当AE=CF时，四边形AECF可能是平行四边形，也可能是等腰梯形。

当∠AEB=∠CFD时，四边形AECF也是平行四边形，证明如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D。

∵∠AEB=∠CFD，∴△AEB≌△CFD(AAS)。∴AE=CF。

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。∴∠AEB=∠EAF。∴∠CFD=∠EAF。

∴AE∥FC。∴四边形AECF是平行四边形。

4. (2012福建三明14分)在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上(不含点B)，∠BPE= ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G.

(1) 当点P与点C重合时(如图①).求证：△BOG≌△POE;(4分)

(2)通过观察、测量、猜想： = ▲ ，并结合图②证明你的猜想;(5分)

(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图③)，若∠ACB=α，

求 的值.(用含α的式子表示)(5分)

【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB=OP ， ∠BOC=∠BOG=90°。

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。

∴∠GBO=∠EPO 。∴△BOG≌△POE(AAS)。

(2) 。证明如下：

如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=900， ∠BPN=∠OCB。

∵∠OBC=∠OCB =450， ∴ ∠NBP=∠NPB。

∴NB=NP。

∵∠MBN=900—∠BMN， ∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。

∴△BMN≌△PEN(ASA)。∴BM=PE。

∵∠BPE= ∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。

∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900。

又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF(ASA)。∴BF=MF ，即BF= BM。

∴BF= PE， 即 。

(3)如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900。

由(2)同理可得BF= BM， ∠MBN=∠EPN。

∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN。

∴ 。

在Rt△BNP中， ， ∴ ，即 。

∴ 。

【考点】几何综合题，正方形和菱形的性质，平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】(1)由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE。

(2)过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE，通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出 的结论。

(3)过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同(2)证得BF= BM， ∠MBN=∠EPN，从而可证得△BMN∽△PEN，由 和Rt△BNP中 即可求得 。

5. (2012福建泉州9分)如图，BD是平行四边形ABCD的一条对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，求证∠DAE=∠BCF.

【答案】证明：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC(平行四边形对边平行且相等)

∴∠ADB=∠CBD(两直线平行，内错角相等)。

∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°(垂直的定义)。

在△ADE和△CBF中，∵∠ADB=∠CBD，∠AED=∠CFB，AD=CB，

∴△ADE≌S△CBF(AAS)。

∴∠DAE=∠BCF(全等三角形的对应角相等)。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】由四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等得到AD=BC，AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AE⊥BD，CF⊥BD得到一对直角相等，利用AAS可得出三角形ADE与三角形CBF全等，利用全等三角形的对应角相等可得出∠DAE=∠BCF，得证。 文

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