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 2013年中考数学四边形试题解析

一、选择题

1. (2012江苏连云港3分)小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】

A. +1 B. +1 C.2.5 D.

【答案】B。

【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，勾股定理。

【分析】∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，

∴AB=BE，∠AEB=∠EAB=45°，

∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，

∴AE=EF，∠EAF=∠EFA= =22.5°。∴∠FAB=67.5°。

设AB=x，则AE=EF= x，

∴an67.5°=tan∠FAB=t 。故选B。

2. (2012江苏南通3分)如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120º，则AB的长为【 】

A.3cm B.2cm C.23cm D.4cm

【答案】D。

【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。

【分析】在矩形ABCD中，AO=BO= AC=4cm，

∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°-120°=60°。∴△AOB是等边三角形。

∴AB=AO=4cm。故选D。

3. (2012江苏苏州3分)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，

则四边形CODE的周长是【 】

4. (2012江苏泰州3分)下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形;②对

角线互相垂直且相等的四边形是正方形;③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形;④正五边形既是

轴对称图形又是中心对称图形.其中真命题共有【 】

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【答案】B。

【考点】真假命题，平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，轴对称图形和中心对称图形。

【分析】根据平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定和轴对称图形、中心对称图形的概念逐一作出判断：

①如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠ABC，

连接BD，则

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC(两直线平行，内错角相等)。

又∵∠ADC=∠ABC，∴∠BDC=∠ABD(等量减等量，差相等)。

∴AB∥DC(内错角相等，两直线平行)。

∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形定义)。因此命题①正确。

②举反例说明，如图，铮形对角线互相垂直且相等。因此命题②错误。

③如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，

连接AC，BD。

∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，

∴EF= AC，HG= AC，EF= BD，FG= BD(三角形中位线定理)。

又∵矩形ABCD，∴AC=BD(矩形的对角线相等)。

∴EF=HG=EF=FG(等量代换)。

∴四边形EFGH是菱形(四边相等的辊边形是菱形)。因此命题③正确。

④根据轴对称图形和中心对称图形的概念，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形。因此命题④错误。

综上所述，正确的命题即真命题有①③。故选B。

5. (2012江苏无锡3分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于【 】

A. 17 B. 18 C. 19 D. 20

【答案】A。

【考点】梯形和线段垂直平分线的性质。

【分析】由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得DE=CE，即可由已知AD=3，AB=5，BC=9求得四边形ABED的周长为：

AB+BC+AD=5+9+3=17。故选A。

6. (2012江苏徐州3分)如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= BC。图中相似三角形共有【 】

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

【答案】C。

【考点】正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定。

【分析】根据正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定：

同已知，设CF=a，则CE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a。

根据勾股定理，得EF= ，AE= ，AF=5a。

∴ 。

∴△CEF∽△DEA，△CEF∽△EAF，△DEA∽△EAF。共有3对相似三角形。故选C。

二、填空题

1. (2012江苏淮安3分)菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= ▲ cm。

【答案】5。

【考点】菱形的性质，勾股定理。

【分析】如图，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，由对角线长AC=8cm，BD=6cm，得AO=4cm，BP=3cm;

在Rt△ABO中，根据勾股定理，得 (cm)。

2. (2012江苏南京2分)如图，在平行四边形ABCD中，AD=10cm，CD=6cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE= ▲ cm

【答案】2.5。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，AD=10cm，CD=5cm，

∴BC=AD=10cm，AD∥BC，∴∠2=∠3。

∵BE=BC，CE=CD，

∴BE=BC=10cm，CE=CD=5cm，∠1=∠2，∠3=∠D。

∴∠1=∠2=∠3=∠D。∴△BCE∽△CDE。∴ ，即 ，解得DE=2.5cm。

3. (2012江苏南通3分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90º，AB=7cm，BC=3cm，

AD=4cm，则CD= ▲ cm.

【答案】2。

【考点】梯形的性质，平行的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理。

【分析】作DE∥BC交AB于E点，则∠DEA=∠B。

∵∠A+∠B=90°，∴∠A+∠DEA=90°。∴∠ADE=90°。

又∵AB∥CD，∴四边形DCBE是平行四边形。∴DE=CB，CD=BE。

∵BC=3，AD=4，∴EA= 。

∴CD=BE=AB×AE=7-5=2。

4. (2012江苏宿迁3分)已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是 ▲ .(填“梯形”“矩形”“菱形” )

【答案】矩形。

【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。

【分析】如图，连接AC，BD。

∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，

∴根据三角形中位线定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF。

又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900。

∴四边形EFGH是矩形。

且∵AC≠BD，∴四边形EFGH邻边不相等。

∴四边形EFGH不可能是菱形。

5. (2012江苏宿迁3分)如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB、宽是PB的矩形的面积，则S1 ▲ S2.(填“>”“=”“ <”)

【答案】=。

【考点】黄金分割点，二次根式化简。

【分析】设AB=1，由P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，

根据黄金分割点的，AP= ，BP= 。

∴ 。∴S1=S2。

6. (2012江苏徐州2分)如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600。 是以点A为圆心、AB长为半径的弧， 是以点B为圆心、BC长为半径的弧。则阴影部分的面积为 ▲ cm2。

【答案】 。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，连接BD。

∵菱形ABCD中∠A=600，

∴△ABD和△BCD是边长相等的等边三角形。

∴BD与 围成的弓形面积等于CD与 围成的弓形面积。

∴阴影部分的面积等于△BCD的面积。

由菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600得△BCD的高为2sin600= 。

∴△BCD的面积等于 (cm2)，即阴影部分的面积等于 cm2。

7. (2012江苏盐城3分)如图,在四边形 中,已知 ∥ , .在不添加任何辅助线的前

提下，要想该四边形成为矩形,只需再加上的一个条件是 ▲ .(填上你认为正确的一个答案即可)

【答案】∠A=90°(答案不唯一)。

【考点】矩形的判定。

【分析】由已知，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得出四边形 是平行四边形，

从而在不添加任何辅助线的前提下，根据矩形的判定写出一个内角是直角或相邻两角相等或对角互补即

可。例如，∠A=90°(答案不唯一)。

8. (2012江苏扬州3分)已知梯形的中位线长是4cm，下底长是5cm，则它的上底长是　▲　cm.

【答案】3。

【考点】梯形中位线定理。

【分析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”直接求解：

设梯形的上底长为x，则梯形的中位线= (x+5)=4，解得x=3。

9. (2012江苏镇江2分)如图，E是平行四边形ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4， ，则CF的长为 ▲ 。

【答案】2。

【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质的。

【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，BC=AD=4。

∴△CEF∽△ABF。∴ 。

又∵ ，BF=BC+CF=4+ CF，∴ ，解得CF=2。

三、解答题

1. (2012江苏常州7分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。

求证：AE=AF。

【答案】证明：连接CE。

∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。

又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO(AAS)。

∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。

又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。

∴AE=AF。

【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE=AF。

2. (2012江苏常州9分)已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x，DE=y。

(1)写出y与x之间的函数关系式 ▲ ;

(2)若点E与点A重合，则x的值为 ▲ ;

(3)是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上?若存在，求x的值;若不存在，请说明理由。

【答案】解：(1)y=-x2+4x。

(2) 或 。

(3)存在。

过点P作PH⊥AB于点H。则

∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，

∴P D′=PD=4-x，E D′=ED= y=-x2+4x，EA=AD-ED= x2-4x+2，∠P D′E=∠D=900。

在Rt△D′P H中，PH=2， D′P =DP=4-x，D′H= 。

∵∠ E D′A=1800-900-∠P D′H=900-∠P D′H=∠D′P H，∠P D′E=∠P HD′ =900，

∴△E D′A∽△D′P H。∴ ，即 ，

即 ，两边平方并整理得，2x2-4x+1=0。解得 。

∵当 时，y= ，

∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去(实际上是无理方程的增根)。

∵当 时，y= ，

∴此时，点E在边AD上，符合题意。

∴当 时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。

【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。

【分析】(1)∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4-x，且△MCP∽△PDE，

∴ ，即 。∴y=-x2+4x。

(2)当点E与点A重合时，y=2，即2=-x2+4x，x2-4x+2=0。

解得 。

(3)过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△E D′A与△D′P H相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。

3. (2012江苏淮安8分)已知：如图在平行四边形ABCD中，延长AB到点E，使BE=AB，连接DE交BC于点F。求证：△BEF≌△CDF

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB。 ∴∠CDF=∠B，∠C=∠FBE。

又∵BE=AB，∴BE=CD。

∵在△BEF和△CDF中，∠CDF=∠B，BE=CD，∠C=∠FBE，

∴△BEF≌△CDF(ASA)。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定。

【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠C=∠FBE，然后利用ASA证明即可。

4. (2012江苏连云港12分)已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，

问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么?

问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值?如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.

问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.

问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.

【答案】解：问题1：对角线PQ与DC不可能相等。理由如下：

∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，

∴∠DPC=90°。

∵AD=1，AB=2，BC=3，∴DC=2 。

设PB=x，则AP=2-x，

在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+(2-x)2+12=8，化简得x2-2x+3=0，

∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0，∴方程无解。

∴不存在PB=x，使∠DPC=90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。

问题2：存在。理由如下：

如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，

则G是DC的中点。

过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H。

∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH。

∵PD∥CQ，∴∠PDC=∠DCQ。∴∠ADP=∠QCH。

又∵PD=CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ(AAS)。∴AD=HC。

∵AD=1，BC=3，∴BH=4，

∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。

问题3：存在。理由如下：

如图3，设PQ与DC相交于点G，

∵PE∥CQ，PD=DE，∴ 。

∴G是DC上一定点。

作QH⊥BC，交BC的延长线于H，

同理可证∠ADP=∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。∴ 。

∵AD=1，∴CH=2。∴BH=BG+CH=3+2=5。

∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5。

问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，

∵PE∥BQ，AE=nPA，∴ 。

∴G是DC上一定点。

作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K。

∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴∠D=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°

∠PAG=∠QBG，

∴∠QBH=∠PAD。∴△ADP∽△BHQ，∴ ，

∵AD=1，∴BH=n+1。∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4。

过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形。

∴BM=AD=1，DM=AB=2。∴CM=BC-BM=3-1=2=DM。

∴∠DCM=45°。∴∠KCH=45°。

∴CK=CH•cos45°= (n+4)，

∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为 (n+4)。

【考点】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。

【分析】问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB=x，可得方程x2+32+(2-x)2+1=8，由判别式△<0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等。

问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。

问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD=DE，可得 ，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案。

问题4：作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易证得 与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB=45°，可得△CKH是等腰直角三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案。

5. (2012江苏南京8分)如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点

(1)求证：四边形EFGH为正方形;

(2)若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。

【答案】(1)证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，EF= AC。

同理FG= BD，GH= AC，HE= BD。

∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD。

∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形。

设AC与EH交于点M，

在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC。

又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。

∴四边形EFGH是正方形。

(2)解：连接EG。

在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，

∴ 。

在Rt△EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，

∴ ，即四边形EFGH的面积为 。

【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。

【分析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断。

(2)连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合(1)的结论求出 ，也即得出了正方形EHGF的面积。

6. (2012江苏南通10分)如图，菱形ABCD中，∠B=60º，点E在边BC上，点F在边CD上.

(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60º，

求证：BE=DF;

(2)如图2，若∠EAF=60º，

求证：△AEF是等边三角形.

【答案】证明：(1)连接AC。

∵菱形ABCD中，∠B=60°，

∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°。

∴△ABC是等边三角形。

∵E是BC的中点，∴AE⊥BC。

∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°-∠AEF=30°。

∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-30°-120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。

∴EC=CF。∴BE=DF。

(2)连接AC。

∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，

∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF。

∴△ABC是等边三角形。

∴AB=AC，∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。

∴∠AEB=∠AFC。

在△ABE和△AFC中，∵∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC， AB=AC，

∴△ABE≌△ACF(AAS)。∴AE=AF。

∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质。

【分析】(1)连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，

又由三线合一，可证得AE⊥BC，从而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，从而证得BE=DF。

(2)连接AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形。

7. (2012江苏苏州6分)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，

连接AE、AC.

⑴求证：△ABE≌△CDA;

⑵若∠DAC=40°，求∠EAC的度数.

【答案】⑴证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，

∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA。

∴∠ABE=∠CDA。

在△ABE和△CDA中，AB=CD，∠ABE=∠CDA， BE=AD，

∴△ABE≌△CDA(SAS)。

⑵解：由⑴得：∠AEB=∠CAD，AE=AC。

∴∠AEB=∠ACE。

∵∠DAC=40°，∴∠AEB=∠ACE=40°。

∴∠EAC=180°-40°-40°=100°。

【考点】梯形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理。

【分析】(1)先根据题意得出∠ABE=∠CDA，然后结合题意条件利用SAS可判断三角形的全等。

(2)根据题意可分别求出∠AEC及∠ACE的度数，在△AEC中利用三角形的内角和定理即可得

出答案。

8. (2012江苏苏州9分)如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD

以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，

连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH

的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x(s)，线段GP的长为y(cm)，其中

0≤x≤2.5.

⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值;

⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2.试说明S1-S2是常数;

⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.

【答案】解：(1)∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则 。∴ 。

∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3-x，AG=4-x。

∴ ，即 。∴y关于x的函数关系式为 。

当y =3时， ，解得:x=2.5。

(2)∵ ，

∴ 为常数。

(3)延长PD交AC于点Q.

∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°。

∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°。

∴∠GDP=∠ADQ=45°。

∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。

∴ ，化简得： ，解得： 。

∵0≤x≤2.5，∴ 。

在Rt△DGP中， 。

【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)根据题意表示出AG、GD的长度，再由 可解出x的值。

(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。

(3)延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度。

9. (2012江苏泰州10分) 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD

于点F，且AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.

【答案】证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠CFB=90°。

∵AE∥CF，∴∠AED=∠CFB。

在Rt△AED和Rt△CFB中，∵∠EAD=∠CFB=90°，∠AED=∠CFB， AE=CF，

∴Rt△AED≌Rt△CFB(ASA)。∴AD=BC。

又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。

【分析】由垂直得到∠EAD=∠BCF=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平

行四边形的判定判断即可。

10. (2012江苏无锡8分)如图，在 ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF.求证：∠BAE=∠CDF.

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC。∴∠B=∠DCF。

∵在△ABE和△DCF中，AB=DC，∠B=∠DCF， BE=CF，

∴△ABE≌△DCF(SAS)。∴∠BAE=∠CDF。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形的性质可得AB=DC，AB∥DC，再根据平行线的性质可得∠B=∠DCF，即可由SAS证明△ABE≌△DCF，再根据全等三角形对应边相等的性质得到结论。

11. (2012江苏徐州6分)如图，C为AB的中点。四边形ACDE为平行四边形，BE与CD相交于点F。

求证：EF=BF。

【答案】证明：∵四边形ACDE为平行四边形，∴ED=AC，ED∥AC。∴∠D=∠FCB，∠DEF=∠B。

又∵C为AB的中点，∴AC=BC。∴ED=BC。

在△DEF和△CBF中，∵∠D=∠FCB，ED=BC，∠DEF=∠B，

∴△DEF≌△CBF(SAS)。∴EF=BF。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，易用SAS证明△DEF≌△CBF，从而根据全等三角形对应边相等的性质即可证得EF=BF。

12. (2012江苏盐城10分) 如图所示,在梯形 中, ∥ , , 为 上一点,

.

(1) 求证: ;

(2)若 ,试判断四边形 的形状,并说明理由.

【答案】解：(1)证明：∵ ，∴ ，且 。

又∵ ，∴ 。∴ 。

(2)四边形 为菱形。理由如下：

∵ ，∴ 。

∵ ，∴ 。

∵ ，∴ 。

又∵ ∥ ，∴四边形 为平行四边形。

又∵ ，∴ 为菱形。

【考点】梯形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定。

【分析】(1)由 ， C，利用等角的余角相等，即可得 ，又由等角对等边，即可证得 。

(2)先证四边形 是平行四边形，由 ，即可证得四边形 为菱形。

13. (2012江苏盐城10分)如图①所示,已知 、 为直线 上两点,点 为直线 上方一动点,连接 、 ,分别以 、 为边向 外作正方形 和正方形 ,过点 作 于点 ,过点 作 于点 .

(1)如图②,当点 恰好在直线 上时(此时 与 重合),试说明 ;

(2)在图①中,当 、 两点都在直线 的上方时,试探求三条线段 、 、 之间的数量关系,并说明理由;

(3)如图③,当点 在直线 的下方时,请直接写出三条线段 、 、 之间的数量关系.(不需要证明)

【答案】解：(1)在正方形 中,∵ ， ，

∴ 。

又∵ , ∴ 。∴ 。∴ 。

又∵四边形 为正方形，∴ 。∴ 。

在 与 中, ，

∴ ≌ 。∴ 。

(2) 。理由如下：

过点 作 ，垂足为 ，

由(1)知： ≌ ， ≌ 。

∴ , ，∴ 。

(3) 。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】(1)由四边形 、 是正方形，可得 ，又由同角的余角相等，求得 ，然后利用 证得 ≌ ，根据全等三角形的对应边相等，即可得 。

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